 | |
Il progetto dsy.it è l'unofficial support site dei corsi di laurea del Dipartimento di Scienze dell'Informazione e del Dipartimento di Informatica e Comunicazione della Statale di Milano. E' un servizio degli studenti per gli studenti, curato in modo no-profit da un gruppo di essi. I nostri servizi comprendono aree di discussione per ogni Corso di Laurea, un'area download per lo scambio file, una raccolta di link e un motore di ricerca, il supporto agli studenti lavoratori, il forum hosting per Professori e studenti, i blog, e molto altro...
In questa sezione è indicizzato in textonly il contenuto del nostro forum |
[De Falco]Esercizi
Clicca QUI per vedere il messaggio nel forum |
| superfabius |
| Postate qui gli esercizi su cui avete dubbi cosi' proviamo a risolverli insieme :D |
| Sonia |
Originally posted by superfabius
Postate qui gli esercizi su cui avete dubbi cosi' proviamo a risolverli insieme :D
Proviamo :)
Allora, tema d'esame del 14 gennaio 2004
http://xoomer.virgilio.it/statistic...i/14-1-2004.pdf
Ho problemi con i punti 5 e 6 del secondo esercizio...
Qualcuno sa come si risolvono? |
| Sonia |
Off-Topic:
Sono io che vi sto antipatica, non avete la più pallida idea di come si risolva o non vi passa neanche per l'anticamera del cervello di pensarci? :P
Ah se lo vedo male sto esame... :| |
| geluke |
Es 2.5
E [(Zr-z)^2] =< 2/r
se Zr è uno stimatore non distorto allora l’errore quadratico medio è uguale alla varianza più qualche cosa.
Per cui
Var[Zr] =< 2/r
In quell’esercizio la varianza valeva 1/r * [(1-p)/p^2]
per cui
1/r * [(1-p)/p^2] =< 2/r
quindi
1/r * [(1-p)/p^2] =< 2*1/r
sostituendo ½ a p si verifica la disuguaglianza.
Es. 2.6
P(| Zr – z | =< a) >= 1 – b
Per disuguaglianza di TChebyceff
P(| Zr – z | =< a) >= 1 – [ Var [Zr] / a^2 ]
Per cui
1 – [ Var [Zr] / a^2 ] >= 1 – b
ossia
Var [Zr] / a^2 <= b
In questo caso la varianza ha valore 2/(r*a^2 ), quindi
2/(r*a^2 ) <= b
r >= 2/ (b*a^2)
sostituisco i valori e trovo il valore di r che soddisfa la condizione
Spero che siano giusti
Ciao
Geluke |
| mitnik |
maaaa io risolvo i temi d'esame, guardo la correzione e capisco gli errori ma ad ogni tema nuovo è sempre panico. Per esempio in quello indicato da Sonia io mi blocco gia all'esercizio II. Come faccioa risolvere i primi 2 punti?
Ciao |
| geluke |
Es. 2.1
Riconosci che è una variabile geometrica particolare, per cui il suo valore atteso è
E[T] = 1/p
vedi pag 111 del Mood
dove parla del punto di massa più piccolo, quando parte da 1 invece che da 0.
Per calcolare il valore atteso potresti
partire dalla funzione generatrice dei momenti, derivarla, e infine la calcoli nel punto 0. Ossia E[T]=mx'(0)
In questo caso la funzione generatrice dei momenti è mx(t)= p*e^t/ [1-(q*e^t)], fai la derivata
mx'(t)=d/dt p*e^t/ [1-(q*e^t)]
e la calcoli nel punto mx'(0).
Mentre la varianza è definita così:
Var[T] = E[T^2] - (E[T])^2
per cui E[T^2] = mx''(0) cioè la derivata seconda della funzione generatrice dei momenti. Non ti rimane che fare il risultato della derivata seconda meno il valore atteso elevato al quadrato, cioè meno (1/p)^2. Per cui la Var[T] è uguale a q/p^2.
Oppure per trovare il valore atteso puoi fare:
E[T]= ∑ kj * fk(kj) = ∑k*p*(1-p)^k-1=
p * ∑ k (1-p)^k-1 = p * ∑ d/dq *q^K= questa serie geometrica converge a 1/1-q per cui= p * d/dq * 1/1-q= la derivata di 1/1-q è 1/p^2 quindi =p * 1/p^2 = 1/p
Ovviamente le sommatorie vanno da 1 a infinito e q=1-p
Es. 2.2
Var[T] =< 2
per cui
Var[T] = 1-p /p^2
ossia 1-p / p^2 =<2
In questo caso 1/2 è il valore della probabilità in cui la Var[T] assume il massimo, ti dice anche di guardare il grafico :D, per cui sostituisci a p il valore 1/2 e vedi se la diseg. è soddisfatta: 0,5/(0,5)^2 =< 2 ?
Spero di esserti stato utile, non ho la certezza matematica di quello che ho scritto, ma penso che sia giusto.
Ciao
Geluke |
| Sonia |
Per il 2.5 bisogna usare una proprietà della varianza (pag. 81 del Mood) che dice:
var(X)=E(X^2)-E(X)^2
Ora guardo gli altri punti e controllo con quello fatto da me :) |
| Sonia |
Originally posted by geluke
Es. 2.1
Riconosci che è una variabile geometrica particolare, per cui il suo valore atteso è
E[T] = 1/p
vedi pag 111 del Mood
dove parla del punto di massa più piccolo, quando parte da 1 invece che da 0.
Infatti. Quando ho capito il tipo di distribuzione, guardo sul libro il valore atteso e la varianza :P
Originally posted by geluke
Es. 2.2
Var[T] =< 2
per cui
Var[T] = 1-p /p^2
ossia 1-p / p^2 =<2
In questo caso 1/2 è il valore della probabilità in cui la Var[T] assume il massimo, ti dice anche di guardare il grafico :D, per cui sostituisci a p il valore 1/2 e vedi se la diseg. è soddisfatta: 0,5/(0,5)^2 =< 2 ?
[/B]
Prendi la varianza del punto precedente (1-p)/p^2 e sostituisci p=1/2 (quindi var=2).
Guardando il grafico, con l'aumentare di p, diminuisce la var.
Quindi se 1/2 <= p < 1 la var[T] <=2 |
| holylaw |
Originally posted by geluke
Es 2.5
se Zr è uno stimatore non distorto allora l’errore quadratico medio è uguale alla varianza più qualche cosa.
......
scusa mi sapresti dire dove e' scritto sul libro questa proprieta'??
non che non mi fidi di te, pero'.. :D |
| Sonia |
Grazie Geluke :smack:
Per quel che riguarda il 2.5 l'ho risolto in questo modo:
E[(Zr-z)^2] =
sviluppo
E[Zr^2+z^2-2z*Zr] =
sostituisco z=1/p
E[Zr^2 + 1/p^2 - 2/p * Zr] =
E[Zr^2] + 1/p^2 - 2/p * E[Zr] =
sostituisco il val atteso col valore trovato in precedenza
E[Zr^2] + 1/p^2 - 2/p * 1/p =
E[Zr^2] - 1/p^2
Uso una proprietà della varianza (pag. 81 del Mood)
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 ----> E[X^2] = var[X] + (E[X])^2
E[Zr^2] - 1/p^2 = var[Zr] + (E[Zr])^2 - 1/p^2=
(1-p)/rp^2 + 1/p^2 -1/p^2= (1-p)/(rp^2)
Sostituisco p=1/2 e l'errore quadratico medio è uguale a 2/r |
| geluke |
Spero di averti aiutata Sonia! :D
Mi sembra che alla correzione avesse fatto così come ti ho postato, come hai fatto tu purtroppo non sono riuscito a seguirlo :oops:.
Ps per holylaw: vai a pag.300 del Mood, 13 riga... :D
:cool:
Cmq Sonia se hai bisogno di chiarimenti fai un fischio... |
| holylaw |
| ops era proprio sotto il mio naso... tnx :D |
| vlaste |
...qualche anima buona che mi spiega il 2.3 e il 2.4????????? :?
Grazie! (domani nn passerò mai!! :cry: ) |
| geluke |
Es. 2.3
E[∑ Ti] = E [T1+T2+T3+.....+Tr]=∑ E[Ti]=∑ E[Ti=7]= ∑ 1/p =r *1/p
Somme che vanno da i=1 a r. Io ho messo il valore 7 ma va bene un qualsiasi valore compreso tra 1 e r, risultato espresso in funzione di r e p.
var[∑ Ti]=∑ var[Ti] +2∑∑ cov[Ti,Tj] ; essendo indipendento e incorrelate tra loro la cov[Ti,Tj]=0;
per cui = ∑ var[Ti]=∑ var[T17]= r *[(1-p)/ p^2] sempre somme che vanno da i=1 a r.
Es. 2.4
E[Zr]=E[1/r*∑ Ti] =1/r*E[∑ Ti]=(1/r)*r*(1/p)=1/p quindi Zr è uno stimatore non distorto del parametro 1/p.
Var[Zr]=Var[1/r*∑ Ti]=(1/r^2)*var[∑ Ti]=(1/r^2)*(r*[1-p/p^2])= (1-p)/(r*p^2)
Ciao
Geluke |
| vlaste |
| Grazie mille geluke!! |
| ghost80 |
Ciao a tutti!
Ieri ho fatto lo scritto con DeFalco, era moolto più lungo del solito ma non eccessivamente difficile.
C'è un esercizio che mi ha lasciato perplesso e che non riesco a spiegarmi, provo a postarlo qui....
Ma nell'orale chiede solo le dimostrazioni dei teoremi principali (che so, chebyshev, teo centrale statistica e roba così) e di quelli usati nello scritto o anche di quelli che neanche lui conosce??? Vorrei cercare di capire un po' cosa studiare...
ES V
Estrazione di un campione di dimensione n senza reimmissione da una popolazione di m elementi di cui k = p*m difettosi
La variabile casuale Yi assume il valore 1 se l'i-esimo elemento estratto è difettoso, altrimenti 0
Tn = Y1 + Y2 + ... + Yn è quindi il totale di elementi difettosi sul campione n estratto
1) Y1...Yn sono quindi non indipendenti (non c'è reimmissione)
2) Tn ha distribuzione ipergeometrica f(t, m, k, n)
3) E(Tn/n) = E(Tn) /n = (n * k/m) /n = k/m = p (Tn/n è uno stimatore non distorto di p)
4) var(Tn) = n * p * (1-p) * (m-n)/(m-1) = n * k/m * (m-k)/m * (m-n)/(m-1)
..........
Fin qui tutto regolare. Ora il bello: l'esercizio 6 dice: utilizzando Chebyshev si controlli che
P( abs(Tn/n - p) < eps ) >= 1 - (m-n) / (eps^2 * n * 4 * (m-1))
Allora: qui al posto di 1 - delta è stato scritto 1 - var / (eps^2 * n)
Quello che non riesco a capire è che varianza è stata usata !!!
Al posto di p * (1-p) è stato usato 1/4, che è il suo valore massimo; la formula della varianza utilizzata sembrerebbe quindi essere ovviamente
var = p * (1-p) * (m-n)/(m-1)
cioè var(Tn)/n ! Ma per quale motivo??? Essendo Tn/n la media campionaria di Yi, nella formula di cheby dovrebbe essere usata la varianza della variabile
originale, cioè Yi; se gli Yi fossero indipendenti sarebbe
var(Tn) = var(Y1) + ... + var(Yn) = n * var(Yi)
ma visto che non lo sono, nella formula della somma delle varianze ci andrebbe dentro anche la covarianza, diversa da zero visto che le variabili Yi non sono indipendenti...
Quindi non capisco da dove arriva la varianza utilizzata nella formula di cheby... oppure per qualche motivo la varianza degli Yi è veramente quella??
Aiutoooo! Cosa gli racconto all'orale???
Grazie a tutti per l'aiuto.....
Ghost |
| unidavide |
ha usato la varianza di Tn/n che e'
var(Tn/n) = 1/n^2*var(Tn)
var Tn l'hai calcolata al punto 4.
si usa Tn/n perche' altrimenti non varrebbe Chebyshev
qui:
P( abs(Tn/n - p) < eps )
hai
Tn/n |
| vlaste |
| Qualcuno si è tenuto il testo dell'esame e lo può "diffondere"?? |
| ghost80 |
Originally posted by vlaste
Qualcuno si è tenuto il testo dell'esame e lo può "diffondere"??
Ok lunedì recupero lo scanner e lo posto. |
| mitnik |
chi ha passato l'esame magari riesce a postare una soluzione?
grazie 1000 |
| ghost80 |
Ho risolto l'arcano:
var(Tn) = 1/4 * (m-n)/(m-1) * n
var(Tn/n) = var(Tn) * 1/n^2 = 1/4 * (m-n)/(m-1) * 1/n
ma visto che var(Tn/n) = var(Y)/n, var(Y) = var(Tn/n) * n = 1/4 * (m-n)/(m-1)
che giustamente è quella usata nella formula. Mi ero perso in un bicchier d'acqua. Grazie |
| ghost80 |
| Una domanda per chi ha già seguito il corso l'anno passato: la stima per intervalli e la verifica di ipotesi (cap 8 e 9 del MGB) sono argomento del corso? Di solito vengono chiesti all'orale? |
| vlaste |
Tema d'esame del 10/7/02
Sto cercando di prepararmi al prossimo scritto del 17.....
Qualcuno mi può aiutare con il tema del 12/7/02, in particolare l'esercizio A dal punto 2.c in poi....... grazie mille! |
| holylaw |
Originally posted by ghost80
Una domanda per chi ha già seguito il corso l'anno passato: la stima per intervalli e la verifica di ipotesi (cap 8 e 9 del MGB) sono argomento del corso? Di solito vengono chiesti all'orale?
assolutamente no |
|
|
|
|
