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Tema esame 12 gennaio
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| SanJuanWolf89 |
| Salve a tutti..come avete visto sono usciti i risultati dell' appello del 12 gennaio..dato che la prof non mette le soluzioni qlk potrebbe gentilmente postare lo svolgimento (corretto) del compito??Grazie |
| CowBoy |
Raccolta di soluzioni dal 3d: http://www.dsy.it/forum/showthread....&threadid=41394
Per l'esercizio I - 1
Io ho affrontato sfruttando queste proprietà:
E[aX+b]=aE[X]+b
quindi
E[(X-µ)/σ]=E[1/σ∙X+(-µ/σ)]
dove
a=1/σ
b=-µ/σ
quindi concludendo come
1/σ∙E[X]+(-µ/σ)=µ/σ-µ/σ=0
Per la varianza
var(aX+b)=a²∙var(X)
assegnando a e b come dal punto prima e sostituendo risulta
1/σ²∙var(X)=σ²/σ²=1
Per l'esercizio I-2
P(|X| < a) = P(-a < X < a) = Fx(X) - Fx(-X)
Per l'esercizio III-2
La variabile casuale X è una normale di parametri μ e σ².
Per prima cosa si deve ridurre tale v.c. ad una normale standard.
Come da esercizio I.1, si vede che - data una qualunque variabile casuale X (quindi anche non una normale) di parametri μ e σ² - la v.c. definita come Y=(X-μ)/σ è tale per cui E[Y]=0 e var(Y)=1.
Applicando tale ragionamento alla X ci si riconduce ad una normale standard.
P(|X-μ|<a)
P(|X-μ|/σ<a/σ)
P(|(X-μ)/σ|<a/σ)
ora quanto dentro al modulo è una normale standard N(0,1)
P(|N(0,1)|<a/σ)
P(-a/σ<N(0,1)<a/σ)
P(N(0,1)<a/σ)-P(N(0,1)>-a/σ)
per la simmetria della N(0,1)
P(N(0,1)<a/σ)-(1-P(N(0,1)<a/σ))
2*P(N(0,1)<=a/σ)-1
ma P(N(0,1)<a/σ)=Φ(a/σ)
2*Φ(a/σ)-1
quindi la disequazione dell'esercizio diventa
2*Φ(a/σ)-1>=0.95
2*Φ(a/σ)>=0.95+1
Φ(a/σ)>=1.95/2
Φ(a/σ)>=0.975
consultando le tabelle della Φ risulta che deve essere
a/σ>=1.96
a>=1.96σ
a>=1.96σ
C.V.D.
Per l'esercizio III-3
In merito, invece, al punto III.3, credo che alluda al fatto che dal III.2 emerge a>1.96∙σ, mentre dal punto II.3 risulta a>4.47∙σ (facendo i conti della radice) - e quindi chiede com'è possibile che ci siano due valori distinti.
Ho risposto spiegando che quanto al punto III.2 deriva da una conoscenza della natura di Normale della distribuzione, quindi consente di effettuare un calcolo pressochè esatto, rispetto a quanto al punto II.3 che deriva unicamente dalla conoscenza dei primi due momenti della distribuzione, della cui natura non si sa nulla, e per la quale la disuguaglianza ti Chebyshev è in grado di fornire un minorante.
Ora, essendo III.2 una raffinazione di II.3, a>4.47∙σ ⊂ a>1.96∙σ - per cui l'affermazione del punto II.3 è comunque verificata.
Per l'esercizio III-4
In quanto al "come":
P(|X|<a)=P(X<a)-P(X<=-a)
ora, essendo questa una normale di valore atteso 0, è valido asserire che P(X<=-a)=1-P(X<a)
P(X<a)-(1-P(X<a))=2P(X<a)-1=2Φ(a)-1
quindi, ritrascrivendo la disequazione dell'esercizio:
2Φ(a)-1>=0.95
2Φ(a)>=0.95+1
Φ(a)>=1.95/2
Φ(a)>=0.975
Consultando la tabella della Φ, risulta che
Φ(1.96)=0.975
ed essendo Φ(a) direttamente proporzionale al valore di a
Φ(a)>=0.975 implica a>=1.96
Per l'esercizio IV-2
La variabile casuale Mx (media campionaria) somma di n normali tutte di parametri μ e σ² è a sua volta una normale di parametri μ e σ²/n.
Per semplicità, nella formula, scrivo Mx al posto di 1/nΣXi, riducendola a
P(|Mx-μ|<=c*σ)
√(σ²/n)=σ/√n (che è >0)
P(|Mx-μ|/(σ/√n)<=c*σ/(σ/√n))
P(|(Mx-μ)/(σ/√n)|<=c*√n)
ora quanto dentro al modulo è una normale standard N(0,1)
P(|N(0,1)|<=c*√n)
P(-c*√n<=N(0,1)<=c*√n)
P(N(0,1)<=c*√n)-P(N(0,1)>-c*√n)
per la simmetria della N(0,1)
P(N(0,1)<=c*√n)-(1-P(N(0,1)<=c*√n))
2*P(N(0,1)<=c*√n)-1
ma P(N(0,1)<=c*√n)=Φ(c*√n)
2*Φ(c*√n)-1
quindi la disequazione dell'esercizio diventa
2*Φ(c*√n)-1>=0.95
2*Φ(c*√n)>=0.95+1
Φ(c*√n)>=1.95/2
Φ(c*√n)>=0.975
consultando le tabelle della Φ risulta che deve essere
c*√n>=1.96
√n>=1.96/c
n>=(1.96/c)²
C.V.D.
Per l'esercizio V
Innanzi tutto, dal IV.4, uno stimatore per il valore atteso E[X]=μ basato sul campione X1,...,Xn è la media campionaria: 1/n·ΣXi
Allora, leggendo quanto nel testo dello standard internazionale risulta che:
l'errore nella stima del numero atteso è esprimibile come
|E[X]-μ| = |1/n·ΣXi-μ|
che questo erore sia <=0.3·σ si esprime quindi come
|1/n·ΣXi-μ|<=0.3·σ
ora, la probabilità che questo errore sia almeno uguale a 0.95
P(|1/n·ΣXi-μ|<=0.3·σ)>=0.95
che, manco a farlo apposta, è esattamente la formula di IV.2 con c=0.3
Di come venire a capo di questo ho già postato la procedua.
Continuando, non vengono dati tutti i valori raccolti sulla durata delle singole cartucce, ma ci vengono dati ΣXi=200000 ed n=50, quindi possiamo calcolare E[X]=1/n·ΣXi=4000 pagine/cartuccia.
Risulta, come da esercizio IV.3, che si devono analizzare almeno 43 cartucce, quindi al punto 2 si deve dare torto: 50 cartucce sono sufficienti.
In pratica, se si erano fatti i precedenti 4 esercizi, fare il 5 era questione di due minuti: i conti erano già stati tutti fatti...
Per l'esercizio V-3
In merito al punto V.3.b la domanda dice: "Tenendo invece conto della 50 osservazioni, quanto mi costa l'adeguamento allo standard?"
Io non ho parlato di perdita, poichè nel testo diceva anche "Tempo fa avevo raccolto dati..." il che può far pensare che siano dati relativi a stampe effettuate e che avrei comunque prodotto - quindi non mi considero in perdita.
Avessi invece dovuto fare prove di stampa di pagine a caso, al fine di esaurire 50 cartucce - quindi tutte stampe effettuate e poi gettate poiché inutili - e poi mi fossi reso conto che bastavano 43 cartucce, allora il discorso cambierebbe, e potrei effettivamente dire di aver speso più del necessario.
Comunque, la mia risposta è stata: 0€, perchè ho già un campione di dimensione sufficiente. |
| SanJuanWolf89 |
| grazie mille!!! |
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