Soluzioni tema d'esame 06/07/2010
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| Dattebayo |
| Ehilà, c'è qualcuno che ha seguito la correzione ed è in procinto di postare le soluzioni? |
| *°§_-??? |
Esercizio 1:
code:
-1 se n=b-2
h(n)= 1/(1-a) se n=1
0 altrimenti
Un filtro è causale quando h(n) = 0 ∀ n < 0;
in questo caso valido se b-2 ≥ 0 e quindi b ≥ 2
Un filtro è stabile quando la somma di |h(n)| ∀ n ∈ R è un valore minore di ∞;
in questo caso verificato se |1/(1-a)|< ∞ e quindi 1-a ≠ 0 ⇒ a ≠ 1
dati a = 3, b = 4
code:
-1 se n=2
h(n)= -1/2 se n=1
0 altrimenti
h(n) = -δ(n-2) - 1/2 δ(n-1)
3 se n=0,1
x(n)= -1 se n=-1
0 altrimenti
x(n) = -δ(n+1)+3δ(n)+3δ(n-1)
risolvo tramite le trasformate Z
code:
X(z) = -z+3+3z^(-1)
H(z) = -z^(-2)-1/2 z^(-1)
Y(z) = H(z)X(z) = -3z^(-3)-9/2 z^(-2)-1/2 z^(-1)+1/2
y(n) = -3δ(n-3)-9/2 δ(n-2)-1/2 δ(n-1)+1/2 δ(n)
Esercizio 2:
Un segnale x(t) è limitato se posso definire che: ∃ N ∈ R t.c. |x(t)| ≤ N ∀ t
Un segnale x(v) è a banda limitata se posso definire che: ∃ B ∈ R t.c. |x(v)| ≠ 0 solo in valori |v| ≤ B |
| *°§_-??? |
Esercizio 3:
code:
f(t) = 1200sinc(1200t)+cos(2000πt)
F(v) = 1200/1200 rect(v/1200)+1/2[δ(v-1000)+δ(v+1000)]
applico la modulazione in ampiezza 2cos(4000πt) che in v diventa: 2*1/2 [δ(v-2000)+δ(v+2000)]
code:
G(v) = rect[(v+2000)/1200] + rect[(v-2000)/1200] + 1/2 δ(v-1000) + 1/2 δ(v+1000) + 1/2 δ(v-3000) + 1/2 δ(v-3000)
Per poter campionare senza problemi di Aliasing bisogna tagliare quelle frequenze che darebbero problemi; più precisamente va applicato un filtro passa-basso ad una frequenza pari alla metà della frequenza di campionamento.
In questo caso il campionamento va effettuato a 5000Hz e il filtro passa-basso deve tagliare a ±2500Hz.
Si rappresentava graficamente il segnale prima e dopo l'applicazione del filtro.
...Non ricordo se c'era altro in questo esercizio... |
| *°§_-??? |
Esercizio 4:
code:
y(n) = x(n-2) + x(n-3) + y(n-1) - 1/2 y(n-2)
Y(z) = z^(-2) X(z) + z^(-3) X(z) + z^(-1) Y(z) - 1/2 z^(-2) Y(z)
[1-z^(-1)+1/2 z^(-2)] Y(z) = [z^(-2) + z^(-3)] X(z)
H(z) = Y(z)/X(z) = [z^(-2) + z^(-3)]/[1-z^(-1)+1/2 z^(-2)]
normalizzo moltiplicando per z^3 /z^3
code:
H(z) = [z + 1]/[z^(3)-z^(2)+1/2 z]
I poli/radici vanno estratti dal denominatore che in questo caso risulta essere un'equazione di 3°grado, quindi presenterà 3 soluzioni.
code:
z^(3)-z^(2)+1/2 z = z(z^(2)-z+1/2 )
risolvo:
z(z^(2)-z+1/2 ) = 0 se
z = 0 oppure
z = [1 ± sqrt(1-4/2)]/2 = (1 ± i)/2
risulterà stabile se i valori in modulo delle radici trovate saranno < 1; controllo:
code:
|z| = 0 < 1
|z| = |(1 + i)/2| = sqrt(1/4 + 1/4) = 1/sqrt(2) < 1
|z| = |(1 - i)/2| = sqrt(1/4 + 1/4) = 1/sqrt(2) < 1
Quindi è stabile. L'ultimo punto chiedeva di calcolare il guadagno a delle frequenze date in caso di campionamento a vc = 200Hz
code:
Guad = |H[e^(i2πΩ ) ]|^2
dove Ω = v / vc
v = 0, 50, 100 Hz
Ω = 0, 1/4, 1/2
H(z) = [z + 1]/[z^(3)-z^(2)+1/2 z]
Guad (Ω=0) = |H[e^(0) ]|^2 = |H[1]|^2 =
= |[1 + 1]/[1^(3)-1^(2)+1/2*1]|^2 =
= |2/ 1/2|^2 = 4^(2) = 16
Guad (Ω=1/4) = |H[e^(iπ/2) ]|^2 = |H[i]|^2 =
= |[i + 1]/[i^(3)-i^(2)+1/2 i]|^2 =
= |[i + 1]/[-i-(-1)+1/2 i]|^2 = |[i + 1]/[-1/2 i+1]|^2 =
= |[i + 1]/[1-1/2 i]*[1+1/2 i]/[1+1/2 i]|^2 = |(i + 1)*(1+1/2 i)/[1+1/4]|^2 =
= |(1+1/2 i+i-1/2)/[5/4]|^2 = |(1/2+3/2 i)/[5/4]|^2 =
= |2/5+6/5 i|^2 = sqrt[(4+36)/25]^2 = 40/25 =
= 8/5
Guad (Ω=1/2) = |H[e^(iπ ) ]|^2 = |H[-1]|^2 =
= |[-1 + 1]/[-1^(3)-(-1)^(2)+1/2*(-1)]|^2 =
= |0 /[-1-1-1/2]|^2 = |0 /[-5/2]|^2 =
= |0|^2 = 0
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| Danny |
Ma questo è l'esame di elaborazione dei segnali del prof Bertoni?
io lo ho questo semestre.... :-/ |
| *°§_-??? |
Quando ho fatto l'esame io (luglio 2010) mi risulta che l'esame di elaborazione numerica dei segnali fosse unico sia per la Campadelli che per Bertoni (al massimo se c'erano tanti che passavano lo scritto poi si dividevano sul momento agli orali gli studenti).
Però tieni conto che era il vecchio ordinamento non so se adesso è cambiato qualcosa. |
| Danny |
e, mi sa, ora la materia si chiama solo elaborazione dei segnali, quella che hai fatto te è una "versione" più approfondita e c'è solo il prof bertoni.
Meglio così, mi sembrava piuttosto difficile.... |
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