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Esami svolti corso ombra
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| gq690051 |
ciao a tutti! sto frequentando il corso ombra e ho il testo d'esame che abbiamo fatto l'ultima volta! ho scritto quasi tutti gli esercizi! qualcuno mi potrebbe dire come è stato fatto l'esercizio 1 parte 2, 3 e 4?
grazie mille |
| middu |
| mi posti il tema d'esame ??? |
| middu |
| ok se mi dai tempo nella mattinata avrai le soluzioni |
| middu |
| devi tenere presente che il valore atteso di una variabile possiana è uguale a E[X]= v dove v rappresenta il paramtro che definisce una variabile possiana. In questo caso, si tracciano i grafici della legge di probabilità di una Poissiana e verificare le forme . comunque il procedimento è questo, nulla vieta che domani avrai la risposta alla soluzione da te cercata. |
| middu |
| punto 1 del primo esercizio : siamo di fronte ad una Poissiana di valore atteso E(X) = λ. La funzione di massa o legge di probabilità è per definizione, per una variabile aletoria discreta Poissiana l'espressione : ((e)^-λ) * λ^x)/ x ! . Essendo per definizione il valore atteso di una Poissiana concidente con il parametro su cui è definita la variabile si conclude che la funzione di massa di probabilità è uguale a : ((e)^-λ) * λ^x)/ x ! per ogni numero reale x >= 0 |
| darkman13 |
| Ma oltre questo temo Acqua, nelle altre lezioni cosa ha fatto, PLZ? |
| middu |
ho risolto il dilemma dei grafici in questo modo . Per il valore atteso
E( X1) = 0,4 il grafico corrispondente è rappresentato in figura 1.b.Il grafico E(X2) = 10 il grafico corrispondente è rappresentato in figura 1.a e infine il grafico corrispondente al valore atteso E(X3) = 25 è rappresentato dalla figura 1.c. Tale prova è stata eseguita realizzando i tre grafici con tre tabelle distinte in excel a cui segue il file realizzato |
| middu |
| ecco per chi sta risolvendo il tema d'esame, il file dei grafici relativi all'esercizio 1.2. |
| middu |
| stesso ragionamento per il punto 1.3. Ho creato una tabella con relativi valori e poi ho tracciato il grafico. |
| middu |
| Segue grafico dell'esercizio 1.3. attraverso un file excel |
| middu |
| per risovere il punto 1.4 basta seguire il ragionamento ottenuto al punto precedente. Si crea una tabella con tutti i possibili valori assunti dalla distribuzione poissiana prendendo con come parametro il valore 5 |
| middu |
| ecco il grafico del punto 1.4 |
| middu |
| esercizio n.2 : punto 1 : Abbiamo una variabile R definita come N + M dove N e M sono due variabili di Poisson rispettivamente di parametri λn e λm. Sappiamo dal testo del problema, che le varibaili N e M sono indipendenti. Sappiamo inoltre che, il valore atteso di una somma di variabili indipendenti è data da somma dei singoli valori attesi delle singole variabili. Nel nostro caso abbiamo una somma di due variabili poissiane indipendenti il cui valore atteso è dato da E[M+N] che è uguale al valore atteso di E[M] + E[N]. siccome E[M] = λm e E[N] = λn si conclude che il valore atteso di R è dato da λn + λm. |
| middu |
| esercizio n.2.2 var[M+N] = var[M] + var[N] perchè questo??? Prendiamo la preposizione che ci dice che la varianza di una somma di variabili causali indipendenti è data dalla somma delle varianze delle singole variabili casuali, in quanto la cov(Xi,Xj) con i diverso da j è nulla. nel nostro caso abbiamo una variabile R poissiana che rappresenta una somma di due variabili casuali poissiane indipendenti. La varianza di R è data dalla somma di due variabili poissiane indipendenti è data quindi dalla somma della varianza di M e della varianza di N. Per definizione la varianza di una possiana è data dal parametro λ. Quindi var[M] + var[N] = λm + λn che coincide con la varianza di R |
| middu |
| esercizio n.2.3 : abbiamo una somma di variabile poissiane indipendenti. R = M + N . Quindi avendo M e N variabili casuali indipendenti , la funzione generatrice dei momenti è dato dal prodotto delle funzioni generatrici dei momenti di ogni singola v.c. poissiana facente parte dalla somma. Nel nostro caso, la somma è composta da due variabili casuali M e N ; la funzione generatrice della somma è data dal prodotto tra la funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria poissiama M e la funzione generatrice dei momenti della v.c.possiana N. Applicando ciò che abbiamo detto la funzione generatrice dei momenti della variabile R è data da e^{(e^t-1)(λm+λn)} |
| middu |
| 2.4. Guardando al punto precedente, si può dire che la somma di due variabili casuali poissiane di parametri λn e λm da come risultato una nuova variabile poissiana di parametro che è dato dalla somma dei singoli parametri . R è quindi una poissiana di parametro λn + λm. |
| middu |
| Come avete risolto il punto 1 dell'esercizio n.3 ??? io ho eguagliato le legge di probabilità delle due variabili e valutando tali leggi in un punto qualsiasi ad esempio 50. Risolvendo tutto cosa ho trovato il valore atteso che è pari a 50 ma non ne sono proprio sicuro. |
| middu |
sappiamo che per λ abbastanza grande una variabile Poissiana di parametro λ può essere approssimata ad una normale di valore atteso λ e varianza λ.
Quindi poniamo Z = la variabile normale che approssima la variabile di Poisson di parametro λ = 25 allora, Z = (X - 25)/ (√25) = (X - 25) / 5 è la variabile normale che approssima X. Dobbiamo quindi calcolare la probabilità P[X > 20] in termini di questa nuova variabile. Riscrivo la P[X> 20] in termini di tale variabile Z. Per fare ciò devo quindi sottrarre a 20 il valore atteso della Poissiana e poi dividere la differenza per la derivazione standard in questo modo :
P[Z > (20 - 25)/√5] che equivale a dire di calcolare la probabilità che una variabile normale assuma valori maggiori di -1 , cioè si deve calcolare la P[Z > -1 ]. Come si può scrivere questa probabilità??? La risposta è la seguente 1- P[Z<=-1] = 1- Θ(-1) . Essendo Θ(1) = 1- Θ(-1) implica che -Θ(-1) = -1 + Θ(1) che equivale alla seguente espressione Θ(-1) = 1- Θ(1). Guardo il valore Θ(1) in tabella e ottengo che 1- 1+Θ(1) = 0,8413, dove abbiamo indicato con il simbolo Θ la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale. |
| middu |
Originally posted by middu
sappiamo che per λ abbastanza grande una variabile Poissiana di parametro λ può essere approssimata ad una normale di valore atteso λ e varianza λ.
Quindi poniamo Z = la variabile normale che approssima la variabile di Poisson di parametro λ = 25 allora, Z = (X - 25)/ (√25) = (X - 25) / 5 è la variabile normale che approssima X. Dobbiamo quindi calcolare la probabilità P[X > 20] in termini di questa nuova variabile. Riscrivo la P[X> 20] in termini di tale variabile Z. Per fare ciò devo quindi sottrarre a 20 il valore atteso della Poissiana e poi dividere la differenza per la derivazione standard in questo modo :
P[Z > (20 - 25)/√5] che equivale a dire di calcolare la probabilità che una variabile normale assuma valori maggiori di -1 , cioè si deve calcolare la P[Z > -1 ]. Come si può scrivere questa probabilità??? La risposta è la seguente 1- P[Z<=-1] = 1- Θ(-1) . Essendo Θ(1) = 1- Θ(-1) implica che -Θ(-1) = -1 + Θ(1) che equivale alla seguente espressione Θ(-1) = 1- Θ(1). Guardo il valore Θ(1) in tabella e ottengo che 1- 1+Θ(1) = 0,8413, dove abbiamo indicato con il simbolo Θ la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale. é gisusto come ragionamento ???? |
| middu |
punto n. 1 del problema IV noi sappiamo che affinchè tale diseguaglianza è verificata, nel caso generale deve succedere che
n >= (varianza(X) / Δ * €^2) . Sapendo che € = r *√var(X) implica che €^ 2 = r^2 * var(X) . Sostituendo i valori nella nostra disquaglianza : n>= (var(x)/(Δ * r^2 * var(X))). Semplificando dove possiamo otteniamo n>= 1/Δ * r^2 da cui n>= (r^-2) * Δ^-1 che è la condizione essenziale affinchè sia vera la diseguaglianza di partenza |
| middu |
| punto n.2 del problema IV : basta fare una sostituzione dei valori di Δ e r nella formula ottenendo che n>= 80 |
| middu |
| punto 4.3 si chiede di associare i relarivi grafici . Ragionando sopra io so che quando n aumenta il grafico della distribuzione tende ad essere normale . quindi secondo me più il valore di n tende ad essere un numero grande, allora il grafico di qualsiasi distribuzione tende ad essere di più una distribuzione normale . Quindi a me n = 10 il grafico associato è il grafico di figura c. Se n = 1 il grafico è quello di figura 3.1 e se n=2 allora il suo grafico è quello di figura 3.2 |
| middu |
| come avete risolto il punto 4.3 B??? Io pensavo ad una cosa del genere : so che n >= var(X)/ delta * €^2 . Se poniamo r = 0,5 -----> n >= ???? bho ci si ritorna dopo |
| middu |
Prima condizione formale che possiamo fare è quella che la probabilità che troviamo una pietra presente in un quantità di acqua h è approssimativamente uguale a vh + o(h)
la probailita di trovare due impurità presenti in un campione di acqua h è trascurabile rispetto alla probilità di trovare un'inpurità in un campione d'acqua h.
il numero di impurità trovati in campioni sovrapposti di acqua sono indipendenti. |
| middu |
| 5.2 : indicheremo con Sn = il numero di impuritità di tipo A trovate in 5 taniche da 10 litri ciascuno . In ogni 10 litri di acqua raccolta, il numero medio di piccole pietre in 10 litri d'acqua è Sn/ numero di taniche raccolte => 78 / 5 = 15,6 di piccole pietre trovate in ogni 10 litri di acqua. |
| middu |
| per poter verificare che uno stimatore è non distorto dobbiamo verificare che il valore atteso E[SN/n] coincide con il parametro da stimare e quindi con λn . Calcoliamo E[Sn/n] = 1/n * E[Sn] = 1/n * ∑E[Ni] dove Ni rappresenta il numero di piccole pietre che si trovano nei 10 litri i-esimi. Quindi N è una variabile Poissiana ------> 1/n∑ E[Ni] = 1/ |
| middu |
| per poter verificare che uno stimatore è non distorto dobbiamo verificare che il valore atteso E[SN/n] coincide con il parametro da stimare e quindi con λn . Calcoliamo E[Sn/n] = 1/n * E[Sn] = 1/n * ∑E[Ni] dove Ni rappresenta il numero di piccole pietre che si trovano nei 10 litri i-esimi. Quindi N è una variabile Poissiana ------> 1/n∑ E[Ni] = 1/n * n λn = λn che coincide con il parametro da stimare. In conclusione lo stimatore scelto è non distorto. Per quanto riguarda la consistenza si deve procedere per due passi : devo stabilire se ha consistenza semplice oppure consistenza quadratica . Devo calcolarmi due limiti : il limite di n---> ad infinito della varianza e il limite di n---> infinito del errore quadratico medio. Comincio a calcolare limite di n ---> ad infinito della varianza e stabilisco se è consistente . lim n---> infinito var(Sn/n) = lim n -> infinito (1/n*n) * varianza (Sn) (1/n*n) n * var(Ni) = lim n---> infinito 1/n * λn = 0 in quanto 1/n = 0 La consistenza quadratica è calcolata come lim n---> infinito di Errore quadratico medio lim n---> infinito var(Sn/n) +{λn - E[Sn/n]} = lim n--> infinito var(Sn/n) = 0, in quanto sappiamo dal precedente calcolo il limite per n --> ad infinito è uguale a 0. Quindi lo stimatore scelto è : non distorto e a una consistenza media quadratica |
| middu |
| n >= 1/(1/4)* (5/100) e mi trovo n che rappresenta il numero di litri che devo raccogliere. n>= 80 . Per trovare il numero di taniche richiesto basta semplicemente dividere 80 per il numero di litri che io ho raccolto, trovando così il numero totale di taniche : 80/10 = 8 |
| middu |
| per stimare λr propongo la seguente strategia : so di aver raccolto 16 taniche, che sono troppe, a mio avviso e ho trovato 400 impurità . per stimare λr basta calcolare 400/16 = 200 / 8 e troviamo che in ogni 10 litri in media abbiamo 25 impurità |
| middu |
| Abbbiamo calcolato in 3.3 la stessa probabilità ottenendo come valore 0,8413 |
| middu |
| Quindi secondo voi ho probabilità di passare statistica??? |
| gq690051 |
| ti ringrazio moltissimo per la tua disponibilità! anche se non riesco a capire una cosa! il grafico 1.a ha il vertice in x=5 e x=6 mentre quello che hai fatto tu invece ha il vertice in x=10! io ho provato a rifarlo e viene infatti come hai fatto te, ma non riesco a capire questa differenza con il testo! |
| middu |
| rifai il grafico fino a 5 e vedi che viene qualcosa di simile al grafico che c'e in figura |
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