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Iniettività (esercizo applicazioni)
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| *Dia* |
qualcuno ha svolto l'esercizio in preparazione al compitino di domani??
il testo dice: g(x,y)= x^2 + y^2
stabilire se è o no iniettiva..
secondo me non è iniettiva xkè prendendo 2 coppie a caso di valori come (2,2) e (2,-2) entrambi me danno (4,4)
è giusto il mio ragionamentO??? |
| Stany |
| Si è giusto se non è iniettiva e quindi puoi verificarlo con un controesempio! |
| *Dia* |
Originally posted by Stany
Si è giusto se non è iniettiva e quindi puoi verificarlo con un controesempio!
ok..se invece fosse iniettiva..come la faccio la dimostrazione???
e poi sempre la stessa applicazione..è SURIETTIVA???
qualcuno mi sa spiegare come dimostrarlo?
grazie |
| Stany |
Ehh mi spiace ma non saprei spiegarti il procedimento per dimostrare l'iniettività di questa funzione.
Se fosse stata una funzione f: ZxZ -> ZxZ allora farei cosi:
esempio: f(x,y) = (x-3y,x)
f(x,y) = f(w,z) --> (x,y) = (w,z)
sostituisco a x e y w e z e li metto in relazione
(x-3y,x) = (w-3z,w)
li metto a sistema
{x-3y = w-3z
{x = w
dopo un po di passaggi ottengo
{y = Z
{x=w
quindi la funzione è iniettiva in quanto i due elementi danno lo stessa immagine perchè sono lo stesso elemento(detto in maniera molto maccheronica)
Non è suriettiva perchè le immagini sono tutto maggiori di 0 quindi non è suriettiva! cioè presi due numeri a,b appartenenti al dominio non esiste un elemento inferiore a 0. Anche qui detto male ma il concetto dovrebbe essere giusto. |
| *Dia* |
| emm... non ho capito.. |
| ViPah |
Originally posted by *Dia*
qualcuno ha svolto l'esercizio in preparazione al compitino di domani??
il testo dice: g(x,y)= x^2 + y^2
stabilire se è o no iniettiva..
secondo me non è iniettiva xkè prendendo 2 coppie a caso di valori come (2,2) e (2,-2) entrambi me danno (4,4)
è giusto il mio ragionamentO???
dia sei sicuro che il testo sia cosi?"il testo dice: g(x,y)= x^2 + y^2"
al posto del piu non c'è una virgola per caso?
cmq il tuo ragionamento è giusto.
Prendendo la definizione dal libro: "Se ammette al piu una preimmagine"
Quindi in questo caso ne ammetterebbe 2 (supponendo le tue coppie di valori.)
Quindi se ne esculde la iniettività.
Ricordati che raramente, in presenza di una funzione quadratica in R, c'è iniettività. Considerando invece numeri solamente positivi la funzione sarebbe stata iniettiva perchè non sarebbe mai avvenuto che 2 coppie di valori diverse avessero dato lo stesso risultato.
Se non è chiaro, dimmelo che riprovo a spiegarlo :crazy: |
| ViPah |
Per quanto riguarda la suriettività penso che la risposta sia FALSO.
E' un argomento un pò ostico, quindi ognuno dà la sua interpretazione.
Gli elementi del codominio in questo caso, sono minori di quelli del dominio (2D-1Codominio). Quindi non sarebbe possibile assegnare ad 1 elemento del dominio piu di un valore.
Un'applicazione per essere suriettiva, Dominio e codominio devono avere gli stessi elementi, oppure il codominio ne deve avere di più.
Per farti capire ancora meglio, guarda qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_suriettiva
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_iniettiva |
| IsaMetallo |
detto in parole semplici:
tu hai f: Z * Z --> Z
cioè un'applicazione che prende due valori ordinati di Z e ne restituisce un altro appartenente allo stesso insieme
la condizione è che dati x,y l'applicazione restituisce x^2 +y^2 (se lo pensi come un programma magari ti viene più facile)
sappiamo che il quadrato di un numero appartenente a Z (ricordiamo, l'insieme degli interi relativi) è sempre maggiore o uguale a zero, e di conseguenza la somma di due quadrati è sicuramente maggiore uguale a zero.
Si ottiene così che TUTTI gli elementi eventuali dell'applicazione sono maggiori o uguali a zero. Ma essendo l'insieme di definizione del codominio (l'insieme delle immagini) Z, è più che lecito prendere un elemento negativo e cercare una sua controimmagine, che come detto prima non esisterà.
La definizione di surittività, detta in soldoni, è che preso un elemento a caso del codominio questo ha una controimmagine. Abbiamo visto che questo non succede e la funzione nn è dunque suriettiva..
se vuoi un altra prova, pensa al numero 3 (numero scelto pressochè a caso). Tre appartiene a Z, è positivo, e dunque è possibile che abbia una controimmagine nonostante le considerazioni precedenti.
Dunque si tratterebbe di risolvere l'equazione x^2+y^2=3 e trovare due valori qualsiasi che la verifichino. Questa equazione NON ha soluzioni in Z: da come è strutturata l'equazione i valori che la possono verificare appartengono all'insieme {0,1,2,3} (positivi o negativi non contra poichè sono elevati al quadrato e non possono superare 3 perchè se no sicuramente il membro di sinistra sarebbe maggiore di quello di destra). Facendo dei calcoletti spicci, si vede che nessuno di questi valori la verifica, provando tutte le combinazioni possibili (16) ergo è provato che non ha soluzioni.
L'applicazione è dunque a maggior ragione non suriettiva.
Per la cronaca, non serve scrivere tutta questa roba nella dimostrazione, basterebbe dire che l'equazione non ha soluzioni in Z.
Ti faccio un altro esempio al contrario:
f: z*z-->z*z
(x,y)-->(x+1 , y+2)
come è decisamente intuitivo, quest'applicazione è suriettiva, poichè preso un qualsiasi numero appartenenente a z esiste in z quello che lo precede di una o due unità.
altro esempio:
f: z*z --> z*z
(x,y)-->(2x+1,y)
questa potrebbe ingannare: NON è suriettiva!
il secondo meembro della coppia è invariato e non dà problemi, ma non è detto che un numero di Z possa essere espresso come 2x+1, poichè questa è la definizione stessa di numero dispari, a cui ovviamente i pari non sottostanno.
cmq non so se esista una dimostrazione rigorosa di suriettività, fai decisamente prima con un controesempio.
Ricordati di questo: in matematica si può dimostrare tutto, ma basta un controesempio per far crollare qualsiasi teorema, dunque ragiona per controesempi.
Riguardo alla dimostrazione di iniettività il metodo più corretto è quello che ha scritto Stefy:
te lo scrivo in simboli così è più facile da capire (uso un'applicazione Z*Z-->Z*Z):
sia data f: (x,y)-->(g(x,y),h(x,y))
con g e h espressioni che usano o meno le due variabili mandate in ingresso
pensa dunque a due eventuali immagini
(g(x,y),h(x,y)) e (g(z,a),h(z,a))
date rispettivamente dagli input (x,y) e (z,a)
poni dunque a sistema:
g(x,y)=g(z,a)
h(x,y)=h(z,a)
e tenta di risolvere il sistema (cioè semplificalo il più possibile): se il sistema ti porta al risultato:
x=z
y=a
(quale delle due sopra o sotto non è importante)
la funzione è iniettiva, poichè, in parole, hai dimostrato che:
se due immagini coincidono, coincidono anche le controimmagini, e cioè ogni elemento dato in input ha una e una sola controimmagine.
Quella che ho scritto non è nient'altro che la definizione di iniettività.
Ad essere più precisi (scusa il disordine) la dimostrazione precedente dimostra l'UNICITA' della controimmagine, non la sua esistenza. Per dimostrare l'esistenza devi guardare l'insieme di definizione dell'applicazione, e, consiglio personale, usa un controesempio:
per esempio:
f: Q*Q--> Z
(x,y) --> (x/y)
è intuitivo che date due frazioni non è certo che il loro rapporto appartiene a Z: prendi due frazioni astruse tipo 17/5 e 18/5 (che ovviamente appartengono a Q)
il loro rapposto è 17/18, che non è un numero intero e perciò non appartiene a Z. Dunque non è vero che dati due elementi a caso di Q l'applicazione restituisce certamente un valore in Z. Dunque la funzione non è iniettiva.
Spero di essere stato chiaro, anche se lungo... auguri per domani!!
p.s.: anche a me visto che devo farlo pure io visto che l'anno scorso l'ho lasciato indietro... pirla... |
| *Dia* |
IsaMetallo ti ringrazio molto..ma tutto ciò che mi hai detto tu era se stavamo in Z..ma l'esercizio che ho davanti..mi dice che siamo in Q..quindi..penso ildiscorso sia diverso...
l'iniettività ora l'ho capita..ma la surriettività..mi da ancora qualche problema..ufff |
| ViPah |
Eppure ho ancora qualche dubbio...
ad esempio
f : Q × Q −> Q × Q
cos`ı definita:
f(x, y) = (xy, x).
Ha sicuramente una controimmagine identica, x=x. Supponiamo di avere F(4,3). X quindi vale 3. Esisterà sempre un valore in q che moltiplicato per 3, fa 4, come in questo caso 4/3. La funzione è quindi iniettiva.
Per la suriettività chiedo l'aiuto del pubblico :D |
| Stany |
Originally posted by ViPah
Eppure ho ancora qualche dubbio...
ad esempio
f : Q × Q −> Q × Q
cos`ı definita:
f(x, y) = (xy, x).
Ha sicuramente una controimmagine identica, x=x. Supponiamo di avere F(4,3). X quindi vale 3. Esisterà sempre un valore in q che moltiplicato per 3, fa 4, come in questo caso 4/3. La funzione è quindi iniettiva.
Per la suriettività chiedo l'aiuto del pubblico :D
Io la risolverei cosi:
f(x,y) = f(w,z) -> (x,y) = (w,z)
(xy,x) = (wz,w)
{xy = wz {wy=wz
{x=w {x=w
semplifico le w e ottengo
{y=z
{x=w
Cosi ho dimostrato l'iniettività!
Per quanto riguarda la suriettività, a prima vista direi che è suriettiva. Il problema è sempre lo stesso, se è falsa è facile poichè basta presentare un controesempio, per dimostrare se è vera sinceramente non ne sono in grado..spero di incontrare solo applicazioni non suriettive!:) |
| *Dia* |
Originally posted by Stany
Per quanto riguarda la suriettività, a prima vista direi che è suriettiva. Il problema è sempre lo stesso, se è falsa è facile poichè basta presentare un controesempio, per dimostrare se è vera sinceramente non ne sono in grado..spero di incontrare solo applicazioni non suriettive!:)
concordo! :D:D |
| Deckard |
Originally posted by ViPah
Eppure ho ancora qualche dubbio...
ad esempio
f : Q × Q −> Q × Q
cos`ı definita:
f(x, y) = (xy, x).
Ha sicuramente una controimmagine identica, x=x. Supponiamo di avere F(4,3). X quindi vale 3. Esisterà sempre un valore in q che moltiplicato per 3, fa 4, come in questo caso 4/3. La funzione è quindi iniettiva.
In verità questa è la definizione di suriettività; per l'iniettività bisogna dimostrare che prese due coppie (a,b) e (x,y) appartenenti a QxQ, f(a,b)=f(x,y) se e solo se (a,b)=(x,y) (proprio come ha dimostrato Stany). |
| *Dia* |
Originally posted by Deckard
In verità questa è la definizione di suriettività; per l'iniettività bisogna dimostrare che prese due coppie (a,b) e (x,y) appartenenti a QxQ, f(a,b)=f(x,y) se e solo se (a,b)=(x,y) (proprio come ha dimostrato Stany).
Quindi:
f : Q × Q −> Q × Q
cos`ı definita:
f(x, y) = (xy, x).
Ha sicuramente una controimmagine identica, x=x. Supponiamo di avere F(4,3). X quindi vale 3. Esisterà sempre un valore in q che moltiplicato per 3, fa 4, come in questo caso 4/3.
se esiste questo valore è surriettiva?..quindi dovrei dimostrarlo no?? |
| Deckard |
Originally posted by *Dia*
Quindi:
f : Q × Q −> Q × Q
cos`ı definita:
f(x, y) = (xy, x).
Ha sicuramente una controimmagine identica, x=x. Supponiamo di avere F(4,3). X quindi vale 3. Esisterà sempre un valore in q che moltiplicato per 3, fa 4, come in questo caso 4/3.
se esiste questo valore è surriettiva?..quindi dovrei dimostrarlo no??
si esatto... diciamo che dovresti riuscire a rendere più chiara la dimostrazione che hai appena dato, trattandola genericamente (ovvero con le lettere al posto dei numeri). |
| *Dia* |
Originally posted by Deckard
si esatto... diciamo che dovresti riuscire a rendere più chiara la dimostrazione che hai appena dato, trattandola genericamente (ovvero con le lettere al posto dei numeri).
quindi potrei scrivergli: qualsiasi X € Q verifica la funzione?
basterebbe così???
boh sta cosa mi fa andare in crisi..non ci capisco molto..:( |
| Deckard |
Originally posted by *Dia*
quindi potrei scrivergli: qualsiasi X € Q verifica la funzione?
basterebbe così???
No, devi dare una dimostrazione che possa però almeno essere chiamata tale. Guarda in questo topic il mio ultimo intervento: ho dimostrato (malaccio) la suriettività di una funzione molto simile alla tua. |
| LiJay |
Ho troato un esempio di anni fa della professoressa Bianchi:
f:Z--->Z
f(x,y)=(-x+3y,-y) con x,y appartenenti a Z X Z
INIETTIVA:
dovrebbe essere (x,y)=(a,b) quindi pongo a sistema:
-x+3y=-a+3b -->-x+3b=-a+3b-->-x=-a+3b-3b-->x=a
-y=-b -->y=b --> y=b -->y=b
Abbiamo dimostrato che è iniettiva.
SURIETTIVA
esiste (x,y)--->(z,w) tali che (x,y)=(z,w)? (z,w)appartenenti a Z
(-x+3y,-y)=(z,w)
metto a sistema:
-x+3y=z-->-x-3w=z-->-x=3w+z-->x=-3w-z
-y=w --> y=-w --> y=w -->y=w
Notiamo che è verificata in Z quindi è suriettiva. |
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