Testo tema del 20/06/08
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| RedAngel86 |
| Eccovi il testo del tema d'esame di oggi in attesa delle vostre soluzioni... :razz: |
| middu |
| cominciamo dal punto 0 dell'esercizio 2 . P(X =1) = p, il valore atteso E[x] = 0 * P(X= 0) + 1 * P(X = 1) = 1 * P(X= 1) = p. La varianza var[X] = E[X²] - E[X]²= 1²P(X=1) - p² = p-p² = p(1-p) |
| middu |
1a : Ragionamento : che cosa è la somma di n variabili aleatorie Bernulliane ??? Risposta una binomiale di parametri n e p. Quindi si tratta di esprimere la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria Binomiale. Tale grandezza è data da : n!/x!(n-x)! (p^x) * (1-p)^n-x
b) E(Sn) = E[∑ Xi] = ∑ E[Xi] = np dove ∑ è estesa a tutti i valori di i = 1,2....n. La varianza var[Sn] = var[∑ Xi] = n var[Xi] = np(1-p),dove la ∑ è estesa a tutti gli i = 1,2....n . Si ricordi che quando non richiesto esplicitamente (1-p) = q in generale !!! |
| middu |
| var(SN) <= n/4 implica che np(1-p) <= n/4 -------> np(1-p) <= 1/4 * n ----------> p(1-p) <= 1/4 ------------> p-p²<= 1/4 ---------> p-p²-1/4 <= 0 ---------> 4p-4p²-1 <= 0 risolvendo la diseguaglianza si ottiene che la diseguqaglianza è verificata per qualunque p che scelga. |
| middu |
| esercizio n.1 : tramite la regola di Bayes si ottiene P[A|B1] * P[B1] + P[A|B2] * P[B2] + P[A|B3] * P[B3] e così facendo si ottiene la probabilità dell'evento A |
| leti |
| nessuno riesce apostare le soluzioni dell'appello? |
| Didjer Wallis |
finora tutto uguale middu, ma ovviamente era la parte facile dell'appello...se mi vengono in mente le soluzioni precise le posto.
Buono studio (si spera) |
| Didjer Wallis |
Allora, ho svolto il tema con un amico e ho tutte le soluzioni, affidabili o no, tranne il punto 2 e 3 dell'esercizio V...le butterò su man mano perciò se qualcuno intanto può far quei punti sopraindicati farbbe un grosso piacere :D
sono bel accette discussione su eventuali errori! Diamoci una mano tutti |
| Didjer Wallis |
ESERCIZIO 1
Come da appunti presi a lezione il punto 1 si risolveva facilmente scrivendo il teorema delle probabilità totali ovvero:
P(A) = ∑ P(A|Bi) * P(Bi)
(...in questo caso la sommatoria delle "i" va da 1 a 3) |
| Didjer Wallis |
ESERCIZIO 2
- 0 -
anche in questo punto basta prendere gli appunti:
P(X=1) = p perchè è la probabilità del successo nella bernulliana
E(X) = 0*q + 1*p = p
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0^2 * (1-p) + 1^2 * p - p^2 = p(1-p)
- 1 -
a) Sn è la somma di bernulliane, quindi la f(Sn) è la funzione massa di probabilità di una binomiale
b) E(Sn) = E(∑ xi) = ∑ E(xi) = np
Var(Sn) = Var(∑ xi) = ∑ Var(xi) = n*p(1-p)
- 2 -
E(Sn) = 0.3 *100 = 30 quindi ha il max nel punto x=30 |
| middu |
| punto 3 dell'esercizio n.2 : per n che tende a infinito (abbastanza grande) e per un p che tende a 0 (abbastanza piccolo) una variabile binomiale di parametri n e p può essere approsimata tramite una Poissiana di parametro np. Il grafico della nostra densità può essere ricondotto al grafico di una variabile poissiana di parametro np e se ne traccia il grafico |
| middu |
punto 4 dell'esercizio 2 : devo verificare var(Sn) <= n/4
np(1-p) <= 1/4 * n
p(1-p) <= 1/4
-p² - p <= 1/4
p²-p >= 1/4
Risolvendo la disequazione ottieniamo che p = 1/2 ... Attenzione non prendete 1/2 come valore di p perchè essendo il segno di p² concorde con il segno della disequazione, allora tale diseguaglianza è verificata per ogni p dove 0 <p< 1. |
| Didjer Wallis |
- 3 -
var(Sn) <= n/4
np(1-p) <= n/4
n*(4p^2 - 4p +1) >= 0 per ogni valore di p
- 4 -
E(Tn) = E(Sn/n) = 1/n * E(Sn) = 1/n * np = p -> non distorto
il limite per n che tende a infinito di var(Tn) = 0 -> onsistente
- 5 -
attualmente non trovo piu l'esercizio, lo posterò piu tardi :D
ma sappiamo che numerosità 10000 -> 1- (10000/4*10000) = 3/4 = 0,75
- 6 -
partiamo con la premessa che var(Sn/n) <= 1/4
allora
1 - 1/(4*Æ^2*n) >= 1 - D con Æ epsilon e D sigma (non trovo i simboli azz)
quindi
n <= 1/ (4*Æ^2*D
- 7 -
a) se guardiamo gli appunti notiamo che, dal teorema del limite centrale, la Zn è la media campionaria standardizzata perciò:
E(Zn) = 0 e var(Zn) = 1
b) questo punto abbiamo provato a farlo con un po di grafici e ragionandoci su ne abbiamo concluso che se n tende a infinito il grafico della f(Zn) è una normale con un picco altissimo nel valore atteso e l'area sottostante a questo grazico ( F(Zn) ) è data solo da questo picco perciò:
il limite tende a 1 (perchè considero la totalità dell'area)
non ne siamo sicuri comunque... |
| middu |
punto 4 : per verificare la non distorsione e la consistenza dello stimatore Tn procedo in questo modo :
- per la non distorsione, che implica che lo stimatore è corretto, devo verificare che E[Tn] - p = 0 . E[Sn/n] - p = 0 .. 1/n E[Sn] - p = 0 ---> 1/n n* E[XI] - p = 0 ----> p - p = 0, quindi la non distorsione è verificata.
Adesso per verificare la consistenza dello stimatore calcolo il limite per n --> ∞ della varianza di Tn. Se questo limite è uguale a zero allora posso dire che la proprietà di consistenza è verificata. Procedo quindi a calcolare il limite..... [non metto i passaggi]. Nel calcolo abbiamo trovato che per n -->∞ la varianza di Tn è uguale a ZERO e di conseguenza la proiprietà di consistenza è verificata. |
| Didjer Wallis |
ESERCIZIO 3
- 1 -
E(a+Z*b) = E(a) + E(Z*b) = a + b*E(Z) = a + b*0 = a
var(a+Z*b) = var(a) + var(Z*b) = 0 + b^2*var(b) = 0 + b^2*1 = b^2
- 2 -
la funzione generatrice dei momenti di una normale qualsiasi è:
Mt(x) = e^(E(X)*t + var(X)*t^2/2)
quindi per la vc W sostituiamo a E(X) -> a che è il valore atteso trovato sopra e per la var(X) ->b^2
- 3 -
a) la V segue la legge della normale con parametri ∑ Ei*ai (valore atteso) e ∑ Di^2*ai^2 (varianza) quindi alle formule, generatrice dei momenti e massa di probabilità, della normale sostituire al posto del valore atteso la prima sommatoria e al posto della varianza la seconda sommatoria
b) il valore atteso e la varianza li abbiamo trovati prima comunque è:
E(V) = E( ∑ Mi*ai) = ∑ ai *E(Mi) = a1*E1 + a2*E2 + a3*E3
stesso ragionamento per la varianza |
| Didjer Wallis |
ESERCIZIO 4
- 1 -
p1 = k1 / (k1+k2+k3)
- 2 -
r1 = m1 / k1
- 3 -
s=P(A) = p1*r1 + p2*r2 + p3*r3 (non ne siamo del tutto sicuri)
ESERCIZIO 5
i punti 1 e 4 sono praticamente già risolti nei punti 5 e 6 dell'esercizio 2 e come detto in precedenza i punti 2 e 3 di questo esercizio non sappiamo farli |
| middu |
| nel punto dell'esercizio due sei sicuro che è <= invece ch >= ???? |
| middu |
| nel punto dell'esercizio due sei sicuro che è <= invece ch >= ???? |
| middu |
punto 4 : per verificare la non distorsione e la consistenza dello stimatore Tn procedo in questo modo :
- per la non distorsione, che implica che lo stimatore è corretto, devo verificare che E[Tn] - p = 0 . E[Sn/n] - p = 0 .. 1/n E[Sn] - p = 0 ---> 1/n n* E[XI] - p = 0 ----> p - p = 0, quindi la non distorsione è verificata.
Adesso per verificare la consistenza dello stimatore calcolo il limite per n --> ∞ della varianza di Tn. Se questo limite è uguale a zero allora posso dire che la proprietà di consistenza è verificata. Procedo quindi a calcolare il limite..... [non metto i passaggi]. Nel calcolo abbiamo trovato che per n -->∞ la varianza di Tn è uguale a ZERO e di conseguenza la proiprietà di consistenza è verificata. |
| Didjer Wallis |
Originally posted by middu
nel punto dell'esercizio due sei sicuro che è <= invece ch >= ????
non so che punto visto che non l'hai specificato ma credo di aver capito e penso sia giusto perchè bisogna fare un cambio di segno |
| Didjer Wallis |
| nessuna novità sui punti 2 e 3 dell'esercizio 5? nessun commento su ciò che ho postato? |
| RedAngel86 |
Grande Didjer Wallis!Ho fatto tutto identico a te o quasi...
secondo me il punto 5.2 va fatto così:
E( ∑ p * Sn/n) =
= ∑ p/n * E(Sn) =
= ∑ p/n * rn = ∑ pr = P(A) ed è quindi uno stimatore nn distorto...
invece nel 5.3 credo tu deva dire che è di conseguenza anke uno stimatore consistente xke l'MSE e quindi la var(Un) tendono a 0 per n-> infinito
Nel punto 5.4 la seconda parte(quella da discutere all'orale) sai come si dovrebbe risolvere? |
| Fonzie |
Io ho risloto il punto 6 del es 2 in modo diverso, ho osservato che dal punto 5 si deduce che (usando la tua simbologia di didjer)
d=10^4/4n => n=10^a/4d
credo sia comunque corretto. |
| Didjer Wallis |
Originally posted by RedAngel86
Grande Didjer Wallis!Ho fatto tutto identico a te o quasi...
secondo me il punto 5.2 va fatto così:
E( ∑ p * Sn/n) =
= ∑ p/n * E(Sn) =
= ∑ p/n * rn = ∑ pr = P(A) ed è quindi uno stimatore nn distorto...
invece nel 5.3 credo tu deva dire che è di conseguenza anke uno stimatore consistente xke l'MSE e quindi la var(Un) tendono a 0 per n-> infinito
Nel punto 5.4 la seconda parte(quella da discutere all'orale) sai come si dovrebbe risolvere?
ecco, credo di essermi accorto che E(Sn) = r*n
il punto che l'ho fatto all'esame ma non ricordo come...e mi sembrava pure giusto :D
per il 5.4 credo si riferisse al fatto che Zn sia una normale standardizzata, studiatevi il teorema del limite centrale; però non capisco cosa intende quando chiede di valutare la P( |Un-s| <= 0,01) in riferimento appunto alla standardizzata. Qualuno ne sa di piu?
EDIT: E(Sn) = rn perchè r è la probabilità che un abitante sia ammalato; prendi la E(Sn) di prima che era np. |
| Oracle |
Scusate ma il testo è di De Falco o Apolloni?
Grazie |
| collo |
| cosa avete messo come soluzione nel punto 1 dell'es 5?? |
| elepilly |
Originally posted by Didjer Wallis
[B - 5 -
attualmente non trovo piu l'esercizio, lo posterò piu tardi :D
ma sappiamo che numerosità 10000 -> 1- (10000/4*10000) = 3/4 = 0,75
[/B]
qualcuno mi potrebbe fornire la dimostrazione della disugliaglianza? non riesco proprio a farla :( |
| elepilly |
l'esercizio 5 punto 2 non è così?
E(∑p(i) * (S(n)[con indice i]/n) )=1/n ∑ E ( p(i) * S(n)[con indice i] )=1/n * ∑ p(i)*S(n)[con indice i] |
| biett0 |
Originally posted by elepilly
l'esercizio 5 punto 2 non è così?
E(∑p(i) * (S(n)[con indice i]/n) )=1/n ∑ E ( p(i) * S(n)[con indice i] )=1/n * ∑ p(i)*S(n)[con indice i]
Penso di si, ma al posto di Sn secondo me ci va qualcos'altro... Anche xkè dicendo nel testo che Un è un ragionevole stimatore di s = P(A); mi aspetto che E(Un) = P(A). :? |
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