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[Serie Geometrica] Dubbio
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| ak47 |
Ciao a tutti... ho un dubbio su una serie geometrica....come cavolo si risolve questa serie?
x^5 e^(-nx^5)
Come la riconduco ad una serie geometrica?
Grazie e in bocca al lupo per chi dovrà sostenere l'esame |
| ak47 |
| nessuno che deve fare l'esame, o l'ha gia sostenuto che mi sa dare una dritta?? |
| mayetta |
porti fuori dalla somma la x^5 e dentro la somma raccogli in questo modo:
(e^(-x^5))^n
poi passi alla convergenza puntuale e a quella uniforme.
con gli altri esercizi come sei messo? |
| ak47 |
ok, per cui devo vedere quando e^(-x^-5) è tra (-1 ed 1]
quindi vedo che x^5=0 quindi l'insieme di convergenza puntuale è S=[0,+inf) e avrò convergenza uniforme su [0 + a, b] con a,b > 0 ??Confermi??
Per il resto ho fatto il possibile, ho rifatto 1000 volte tutti gli esercizi che ho trovato in giro, a parte fourier e qualcosina sulle eq differenziali, speriamo di passarlo ;-) ...e poi l'orale sarà una mazzata :shock:
Tu invece? |
| mayetta |
la convergenza puntuale è corretta. per quella uniforme invece devi usare weierstrass ponendo la derivata prima di f >= 0. in questo modo trovi qual è Sup di f e verifichi che non hai convergenza uniforme su [0,+inf). da qui dimostri che hai invece convergenza uniforme su [a,+inf).
anche io ho fatto parecchie volte gli esercizi che sono stati svolti durante le lezioni e le esercitazioni ma non sembrano mai abbastanza :( |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
la convergenza puntuale è corretta. per quella uniforme invece devi usare weierstrass ponendo la derivata prima di f >= 0. in questo modo trovi qual è Sup di f e verifichi che non hai convergenza uniforme su [0,+inf). da qui dimostri che hai invece convergenza uniforme su [a,+inf).
:(
Ah perfetto...non chiedermi perchè ma nn avevo mai visto usare weierstrass per le serie geometriche...
Questo è invece un altro esercizio preso dall'ultimo tema d'esame della Cavaterra (mar 2007):
(x^2e^(-nx^2))/n
Questa serie non è riconducibile ad una geometrica invece? solo per essere sicuri.....
Grazie mayetta :) |
| mayetta |
non so se è giusto il procedimento però io farei così:
((x^2)(e^(-nx^2)))/n
((x^2)(e^(-nx^2))(n^(-1))
e se non sbaglio dovrei avere S=(+inf,-inf)
confermi? |
| ak47 |
Esatto, per lo meno io l'ho risolta cosi:
e^(-nx^2) per n -> +inf al variare di x tende sempre a 0, tranne che per x=0, che vale 1, ma x^2 =0 per cui la serie anche qui va a zero, quindi S=R ;-)
Avevo solo il dubbio che potesse ricondursi ad una serie geometrica essendo il numeratore una serie geometrica, pero cade tutto il discorso essendo il denominatore n.... |
| mayetta |
io invece ho un altro problema... in un esercizio svolto in aula bisognava calcolare
Sup |(n^4)(x^2)(e^(4n^(2)x))| su x in (-inf, 0]
dato che è sempre positivo posso togliere le due ||
ma poi il passaggio successivo dice che il lim per n->+inf è 1/(4e^(2))
come è stato calcolato il Sup? |
| ak47 |
Gia che ci siamo, sempre di questa serie trovo convergenza uniforme su tutto R, dal teorema di weierstrass , studio f'n(x) , trovo che si annulla per 1/sqrt(n), sostituendo trovo il sup=1/n^2e che per n--->+inf va a zero, quindi convergenza uniforme su R
(dovrebbe essere giusto, anche perchè l'esercizio non chiede di trovare un eventuale sottoinsieme di convergenza ;-)) |
| mayetta |
| ignora la mia domanda idiota precedente :D ci sono arrivata da sola... ;) |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
io invece ho un altro problema... in un esercizio svolto in aula bisognava calcolare
Sup |(n^4)(x^2)(e^(4n^(2)x))| su x in (-inf, 0]
dato che è sempre positivo posso togliere le due ||
ma poi il passaggio successivo dice che il lim per n->+inf è 1/(4e^(2))
come è stato calcolato il Sup?
Si l'esercizio è esatto....
dunque
1) trovi la derivata prima di fn(x)
2) vedi per che valore si annulla, in questo caso si annulla per -1/2n^2
3) Sostituisci nella funzione il valore -1/2n^2 e trovi 1/4e^2
4)Per cui, essendo S=(-inf,0], e il limite di n--> +inf di 1/4e^2 diverso da 0, ti togli dall'intorno e trovi convergenza uniforme su (-inf,K]
Risulta cosi l'esercizio? |
| mayetta |
si è esatto :)
per quanto riguarda la tua domanda sono d'accordo. mi sembra che sia corretto. |
| mayetta |
| per curiosità: quando ti sei iscritto all'esame che numero ti è stato assegnato? io sono la seconda ma mi sono iscritta molto presto... |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
per curiosità: quando ti sei iscritto all'esame che numero ti è stato assegnato? io sono la seconda ma mi sono iscritta molto presto...
:rotfl: Numero 1 :D:D:D
Anche a me piacerebbe saperlo...dovrebbero mettere il numero di iscritti sul sifa nella sezione informativa..... non mi risulta che ci sia.....
Speriamo di non essere solo in 2 all'esame :birrozza: |
| mayetta |
passando all'argomento serie di potenze:
somma (da n=0 a +inf) di nxe^(n(x^(2)-x))
determinare insieme di convergenza puntuale e discuterne la convergenza uniforme |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
somma (da n=0 a +inf) di nxe^(n(x^(2)-x))
Stronzetta sta serie....l'ho sempre saltata appositamente.. :-D
Comuqnue, si potrebbe vedere come n (xe^(x^2-x))^n e quindi il raggio è sqrtn(n)=1/1
oppure ho detto una ca:zzz:ata ?? |
| mayetta |
mmmh non mi convince molto... mi sa che non è giusto dire che:
nxe^(n(x^(2)-x)) = n (xe^(x^2-x))^n
perché così avresti anche la x elevata ad n e non è corretto... o sbaglio io? |
| mayetta |
oltretutto in "an" (n pedice) non dovrebbe occorrere la x, cosa che invece accade in
n (xe^(x^2-x))^n |
| ak47 |
mmmm....io ho azzardato,
comunque l'equivalenza nxe^(n(x^(2)-x)) = n (xe^(x^2-x))^n
è corretta perchè (e^x)^y = e^(xy)
quindi t^n sarebbe uguale a (xe^(x^2-x))^n, è possibile? |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
oltretutto in "an" (n pedice) non dovrebbe occorrere la x, cosa che invece accade in
n (xe^(x^2-x))^n
Esatto infatti an sarebbe solo la n
mi puzza anche a me ma nn vedo alternative |
| mayetta |
giuro che non lo so :D
nessun altro ha voglia di intervenire? qualche anima pia??? :) |
| mayetta |
comunque se l'equivalenza che dici tu vale hai ragione, il raggio di convergenza vale 1, quindi si avrebbe convergenza in (-1,1) e non convergenza e in (-inf, -1) e (1, +inf).
controllando gli estremi ho che per x=-1 non converge (-inf) e per x=1 non converge (+inf).
e la convergenza uniforme la avrei per insiemi [-k,k] dove 0<k<1
è giusto? |
| ak47 |
Si esatto, se n corrisponde ad an(pedice n) è corretta la convergenza puntuale e uniforme che hai detto tu....
sicuramente l'equivalenza è giusta, prova con i numeri (proprietà delle potenze) ;) |
| mayetta |
quello che non mi quadra è che una delle proprietà delle potenze dice che (ab)^n equivale ad a^(n)b^(n)...
non ci capisco più niente :D
in ogni caso: ci guardiamo altri esercizi? |
| ak47 |
Originally posted by mayetta
quello che non mi quadra è che una delle proprietà delle potenze dice che (ab)^n equivale ad a^(n)b^(n)...
Arg...ci ho pensato ieri sera, secondo me si potrebbe portare fuori quella x dalla serie proprio come si faceva per la serie geometrica....
dai passiamo ad altro.... tipo come si trova la soluzione particolare nelle eq differenziali?
Esempio y'' + y'=x^2 -1
ok che y(x)=c1+c2e^-x +Y(x)(slz particolare)
bhe come trovo Y(x)? ogni volta cambia :S |
| mayetta |
ecco io non ho ancora capito come faccio a scegliere il metodo...
in questo caso applichiamo il metodo di variazione delle costanti arbitrarie??? |
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