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esercizio numero complesso
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| imperator |
Ciao a tutti.
Qualcuno può darmi una mano a risolvere questo esercizio?
w = ( (1 - i radQuad(3)) / (1 + i) )^6
è un esercizio che era nel I compitino di quest'anno.
grazie |
| ~paolo~ |
Originally posted by imperator
Ciao a tutti.
Qualcuno può darmi una mano a risolvere questo esercizio?
w = ( (1 - i radQuad(3)) / (1 + i) )^6
è un esercizio che era nel I compitino di quest'anno.
grazie
Scrivere i procedimenti è difficile...
Ho dovuto usare il code perchè sennò veniva tutto disordinato...
Primo passaggio da fare è portare alla forma trigonometrica il numero da elevare poi a potenza:
(1 - sqrt(3)*i) / (1 + i)
Razionalizziamo per togliere l'elemento immaginario a denominatore; quindi moltiplichiamo numeratore e denominatore per (1 - i)
code:
1 - sqrt(3)*i 1 - i
---------------- * --------- =
1 + i 1 - i
1 - sqrt(3)*i - i - sqrt(3)
------------------------------ =
1 - (- 1)
(1 - sqrt(3)) + (- 1 - sqrt(3))*i
---------------------------------- =
2
In forma algebrica il numero complesso si presenta così:
code:
(1 - sqrt(3)) (- 1 - sqrt(3))*i
--------------- + --------------------
2 2
Portiamo nella forma trigonometrica w = |w|(cos§ + isen§) con
|w| modulo pari a sqrt(a^2 + b^2)
§ fase pari a arctan(b/a)
|w| = sqrt( ((1 - sqrt(3))/2)^2 + ((- 1 - sqrt(3))/2)^2) =
= sqrt( ( 1 + 3 + 2sqrt(3))/4 + (1 + 3 - 2sqrt(3))/4 ) =
....
Alla fine dei calcoli il modulo risulterà sqrt(2)
§ = arctan( (1+sqrt(3) / 2) / (-1 -sqrt(3)) / 2) =
= ... = arctan( 2 + sqrt(3)) --> § = 5/12 * pi
Avendo modulo e fase si può rappresentare il numero in forma trigonometrica:
w = sqrt(2)*(cos5/12pi + i*sin5/12pi)
Ora eleviamo a potenza il numero; il modulo risultante sarà |w|^n, mentre la fase risultante sarà n*§
|w| = sqrt(2) ----> |w|^6 = sqrt(2)^6 = 8
§ = 5/12pi ----> 6*§ = 6 * 5/12pi = 5/2pi = pi/2
La potenza del numero complesso è:
w = 8*(cospi/2 + i*sinpi/2) = 8*(0 + 1*i) = 8i
Se avete la soluzione per confrontare il risultato....
Ciao |
| imperator |
| grazie. Proverò a cercare i risultati da qualche parte |
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