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[help]Il thread del giorno prima
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| ripe |
Questo è il topic in cui il giorno prima del compitino ognuno di noi può realizzare che di analisi non ci capisce una mazza! :D
In pratica raccogliamo tutti gli esercizi, soluzioni, consigli che ci vengono in mente, mentre combattiamo contro la cacarella che inesorabilmente aumenta.
Inizio io chiedendo un pò di soluzioni degli esercizi che ha postato la prof sul suo sito. Lo so che molti li ha fatti l'esercitatrice a lezione, ma diciamo molto eufemisticamente che non era del tutto chiara.
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Gruppo 1
(1)
La successione converge per tutto R, ma la funzione limite è discontinua (0 se x=0, pi/2 se x>0, -pi/2 se x<0). Quindi non converge uniformemente su S. (Non chiede di trovare i sottoinsiemi su cui converge, quindi mi fermo qui... giusto?)
(2)
La successione converge per tutto R, ma la funzione limite è discontinua (0 se x=0, pi/2 se x!=0). Quindi non converge uniformemente su S.
(3)
La successione converge per S=(-1, +infinito), ma la funzione limite è discontinua (0 se -1<x<1, pi/2 se x>1, pi/4 se x=1). Quindi non converge uniformemente su S.
Gruppo 2
(1)
La successione converge per tutto R a f(x)=0. Il limite per n->infinito del Sup non è 0, quindi tolgo un intorno di 0 restringendo l'insieme di convergenza ad [a, +infinito) (a è compreso?) con a>0, oppure (-infinito, b] con b<0.
(2)
La successione converge per S=(-infinito, 0], ma la funzione limite è discontinua (2 se x=0, 0 se x<0). Studio il grafico e vedo che per avere convergenza uniforme devo togliere un intorno di 0, ottenendo l'insieme (-infinito, b] con b<0.
(3)
La successione converge per S=(-infinito, 0] a f(x)=0. Studio il grafico e vedo che la funzione ha un massimo in (-1/n, -1/(ne)) che per n->infinito tende a 0. Quindi converge uniformemente su S.
(4)
La successione converge per S=[0, +infinito), ma la funzione limite è discontinua (1 se x=0, 0 se x>0). Studio il grafico e vedo che per avere convergenza uniforme devo togliere un intorno di 0, ottenendo l'insieme [k, +infinito) con k>0.
(5)
La successione converge per S=[0, +infinito) a f(x)=0. Studio il grafico e vedo che la funzione ha un massimo in (1/n, 1/e) che per n->infinito non tende a 0. Quindi tolgo un intorno di 0, ottenendo l'insieme [k, +infinito) con k>0.
(6) DUBBI
Effettuo una sostituzione per ricondurmi alla forma geometrica. Risolvendo le disequazioni ottengo l'insieme di convergenza S=(-infinito, ln(sqrt(2) - 1)). Quindi come procedo per trovare la convergenza uniforme?
Gruppo 3
(1)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(1/2, +infinito). Avrò quindi convergenza su V=(1/2 + a, b) con a,b > 0. La funzione somma è x.
(2)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-1/2, +infinito). Avrò quindi convergenza su V=(-1/2 + a, b) con a,b > 0. La funzione somma è -x.
(3)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-infinito, ln2). Avrò quindi convergenza su V=(-b, ln2-a) con a,b > 0. La funzione somma è e^x.
(4) BOH.
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione (portando fuori dalla serie la x^5) e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=[0, +infinito). Quindi? V=[a, b] con a, b > 0??
(5)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione (come nel caso precedente) e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-infinito, 0]. Stesso dubbio del caso precedente.
Gruppo 4
(1)
Studio la convergenza uniforme facendo il limite della successione e ottengo S=(-infinito, 0] con f(x) = 0. Studio la funzione trovando un Sup in (-2/n^2, 4/(n^2*e^2)). Uso questa serie numerica per maggiorare quella di partenza, e poiché questa converge anche la nostra di partenza converge.
Ci avessi capito qualcosa!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!
Sob. |
| ripe |
Non fate l'esame o siete già sicuri di passarlo??
;) ;) |
| luna |
Originally posted by ripe
ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Gruppo 1
(1)
(2)
(3)
OK!
Gruppo 2
(1)
La successione converge per tutto R a f(x)=0. Il limite per n->infinito del Sup non è 0, quindi tolgo un intorno di 0 restringendo l'insieme di convergenza ad [a, +infinito) (a è compreso?) con a>0, oppure (-infinito, b] con b<0.
Ti scrivo i passaggi che ho fatto io in modo da avere maggiore chiarezza: una volta trovato S=R, calcolo la derivata della funzione, per poter trovare il sup.e mi risultano 2 valori (-1/sqrt2 per n, 1/sqrt2 per n).sostituisco i due valori al posto della x in fn(x) e trovo 1/sqrt2 per e e - 1/sqrt2 per e. calcolando il lim n-->inf di questo sup non avro' come risultato 0.percio' non c'e' convergenza uniforme su S.Ma facendo il lim n-->inf di 1/sqrt2 per n ho 0, percio' devo togliere un intorno di 0.
Questo intorno lo calcolo tramite a>0 e b<0.
quindi avro' lim sup n a e ^-n^2 a^2 = 0
mentre per b avro' lim sup n b e^-n^2 b^2= infinito!
per cui ho convergenza uniforme per [a,+ inf] con a>0.
Ho scritto solo scemate o è esatto?è giusto per capire se il ragionamento fatto è corretto!
(2)
La successione converge per S=(-infinito, 0], ma la funzione limite è discontinua (2 se x=0, 0 se x<0). Studio il grafico e vedo che per avere convergenza uniforme devo togliere un intorno di 0, ottenendo l'insieme (-infinito, b] con b<0.
Ok!
(3)
La successione converge per S=(-infinito, 0] a f(x)=0. Studio il grafico e vedo che la funzione ha un massimo in (-1/n, -1/(ne)) che per n->infinito tende a 0. Quindi converge uniformemente su S.
perfetta!:D
(4)-->giusta!:D
(5)--> giusta!:D
(6) DUBBI
Effettuo una sostituzione per ricondurmi alla forma geometrica. Risolvendo le disequazioni ottengo l'insieme di convergenza S=(-infinito, ln(sqrt(2) - 1)). Quindi come procedo per trovare la convergenza uniforme?
sinceramente è poco chiaro anche a me :(
magari farei il sup con b< ln blabla :D e in questo modo viene convergenza uniforme, ma su (-inf,b]
Gruppo 3
Le serie geometriche mi sono poco chiare :(
una volta che ho trovato la x, come nell'es 1, come faccio a dire che S sara' uguale a (1/2,+inf) anziche' (-inf,1/2)?probabilmente la domanda è stupida,lo so :D
Gruppo 4
(1)
Studio la convergenza uniforme facendo il limite della successione e ottengo S=(-infinito, 0] con f(x) = 0. Studio la funzione trovando un Sup in (-2/n^2, 4/(n^2*e^2)). Uso questa serie numerica per maggiorare quella di partenza, e poiché questa converge anche la nostra di partenza converge.
la conclusione è che quindi converge uniformemente su S?se cosi' fosse anche a me viene cosi'! |
| luna |
per quanto riguarda il gruppo 4, la seconda serie a me viene S=[0,+inf),il sup lo trovo in (3/n^2,27/n^2 e^3) e trovo convergenza uniforme su S.
per il gruppo 5:
1. S è dato da [0,+inf),il sup è dato da (1/3n^2,1/9n^2e) e trovo convergenza uniforme su S
2. S è dato da (-inf,0] ma il limite della serie non è continuo..percio' anche in questo caso,come negli es precedenti,non ho convergenza uniforme su S?se cosi' fosse, ho tolto poi un intorno di 0 e avro' che converge uniformemente su (-inf,k] con k<0
Ho sbagliato qualcosa???:D |
| luna |
| e per quanto riguarda la serie di Taylor..io non ci ho capito una mazza!chi sarebbe cosi' gentile da spiegarmi :please: l'esercizio fatto dall'esercitatrice??:please: |
| ripe |
| Ormai mi sa che è troppo tardi. Non ci resta che piangere (cit). |
| Flavia |
Mi spiace Ripe, ti avrei messo le mie soluzioni ma ho fatto gli esercizi su milioni di fogli di carta straccia, quindi non ti saprei ricavare nè l'ordine nè il punto esatto dove ho scritta la soluzione a un determinato esercizio! :D
Vabbeh dai, oramai in bocca al lupo a tutti! :look: |
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