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[Anno 2004/2005] Diario del corso 04/05
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Complementi di analisi è un corso fondamentale per la laurea specialistica in Tecnologie dell'Informazione e della Comunicazione
Docente: Cecilia Cavaterra
Ricevimento mercoledì dalle 14 alle 15.30 in via Saldini
Orario delle lezioni:
Martedì 14.45 - 16.30
Giovedì 14.45 - 16.30
Aula 301 via Celoria 20
la prof fa il quarto d'ora accademico anche perché il martedì ha una lezione che finisce alle 14.30.
Contenuti del corso:
PRELIMINARI
- Successioni e serie
- Integrali impropri
- FUnzioni in più variabili
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
- Serie di potenze
- Serie di Taylor
- Serie di Fuorier
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
- Teoria
- Metodi risolutivi
- Metodi di approssimazione delle soluzioni
Modalità d'esame:
Esame scritto con esercizi seguito da un orale.
Attenzione, a differenza dello scorso anno manca la parte su teoria dei grafi tenuta dal prof D'Antona.
A novembre si terrà l'ultimo appello con le vecchie modalità d'esame.
Materiale didattico:
Elementi di analisi matematica 2
Fusco, Marcellini, Sbordone
Liguori editore
Il sito della docente è consultabile a questo indirizzo: http://www.mat.unimi.it/~cecilia
Guardando nella pagina dell'anno passato potete trovare dei temi d'esame. |
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La lezione di oggi ha riguardato un ripasso sui numeri complessi.
Abbiamo visto la definizione di numero complesso attraverso la forma algebrica z = a + i b vedendo la somma e prodotto di numeri complessi
z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2)
z1 * z2 = a1 a2 + i b1 a2 + i a1 b2 - b1 b2 = (a1 a2 - b1 b2) + i (b1 a2 + a1 b2)
I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente sul piano cartesiano con il punto corrispondente alle coordinate a,b.
Si è parlato del concetto di coniugato di un numero complesso z (scritto z sopra segnato) definito come a - i b.
Nozione importante è quella di modulo di un numero complesso, scritto |z| come radice quadrata del prodotto di z per il suo conigato.
|z| può dunque essere visto come radice quatrada di a^2 + b^2.
Si è quindi passati alla forma trigonometrica di un numero complesso, definita in questo modo:
z = p (cos § + i sin §)
Nell'ultima parte della lezione abbiamo visto come calcolare le potenze di un numero complesso.
z ^ n = p^n (cos n § + i sin n §)
Siamo quindi passati al calcolo delle radici di un numero complesso.
Infine definizione importante (non per niente si chiama fondamentale)
Teorema fondamentale dell'algebra
Definiamo Pn (z) un polinomio formato da una serie di somme
Pn (z) = a(n) z^n + a(n-1) z^(n-1) + ... a(2) z^2 + a(1) z + a(0).
Pn (z) ha n radici omplesse purché contate con la loro molteplicità.
Esecizi per casa:
trovare le radici dei seguenti polinomi nel campo dei numeri complessi.
z^3 = -27
z^3 = i
non so a quanto servano certe formule che scrivo, direi che la cosa migliore sarebbe mettere gli appunti di qualcuno scannerizzati. ci penserò io a meno che non si offra qualcuno :) |
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La lezione di oggi ha riguardato un'introduzione o se preferire un ripasso sulle successioni e serie numeriche.
Abbiamo visto i limiti di successioni con alcuni semplici teoremi riguardanti la convergenza/divergenza delle successioni.
In seguito siamo passati alle serie vedendo anche in questo caso convergenza e divergenza e studiandone alcune tra le più "famose" come quella geometrica.
quando ho un attimo di tempo edito il messaggio e cerco di essere più preciso e ordinato :) |
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Nella prima parte della lezione si è visto:
- teorema della convergenza assoluta
se la serie S |a(n)| converge allora converge anche S a(n) e si dice che converge assolutamente.
- criterio di Leibniz
data la serie S (-1)^n a(n)
1) a(n) >= 0 la serie ha segni alterni
2) a(n) infinitesima la serie converge a 0
3) a(n) > a(n+1) per ogni n allora la serie converge
Quindi abbiamo visto le successioni di funzioni.
In particolare si è fatto riferimento agli insiemi di convergenza (insieme dei valori per i quali una successione di funzioni converge), e alla convergenza che può essere semplice o puntuale. |
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Nella prima parte della lezione abbiamo svolto alcuni esercizi sulla convergenza uniforme, l'argomento della volta scorsa.
Si è passati quindi al teorema di derivazione delle successioni di funzioni e abbiamo visto alcuni esempi. |
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L'argomento introdotto oggi è stato quello delle serie di funzioni.
Abbiamo visto i criteri per determinare la convergenza puntuale, uniforme e assoluta oltre al teorema di Weierstrass per le serie di funzioni.
A parte il nuovo argomento abbiamo fatto soprattutto esercizi e la prof ce ne ha dati un po' da fare per conto nostro. Non li sto a riportare in forma testuale perché sarebbe assurdo, ve li scannerizzo così facciamo prima.
I giorni Martedi 19 e Giovedi 21 Ottobre le lezioni di Complementi di analisi non saranno tenute causa impegni della Prof. Cavaterra.
FONTE: http://www.dico.unimi.it/avviso.php...tudenti;id=2925 |
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Oggi, come la volta scorsa, si è parlato di serie di potenze.
La prima cosa che abbiamo visto è stato il teorema di Abel sulla convergenza delle serie di potenze.
In seguito abbiamo visto le operazioni di somma e di prodotto con serie di potenze.
Infine alcune proprietà sulla regolarità delle serie di potenze, in particolare abbiamo visto come passare da una generica serie di potenze alla sua derivata, arrivando alla serie di Taylor.
La prof ha assegnato degli esercizi sulle serie di potenze.
Spero di ricordarmi domani di scannerizzarveli (lo scanner è sull'altro pc sempre occupato). |
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L'argomento del giorno è stato quello delle serie di Fourier.
L'inizio della lezione ha riguardato un proseguimento di quanto visto l'altra volta con la serie di Taylor.
Abbiamo introdotto il concetto di funzione analitica (o sviluppabile in serie di Taylor) vedendo due semplici teoremi per stabilire quando una funzione può dirsi analitica.
Dopo alcuni esempi siamo passati appunto ad introdurre le serie di Fuorier, accennando il concetto di funzione periodica e vedendo successivamente le definizioni di funzione continua a tratti e di funzione regolare a tratti
controllate il sito perché la prossima settimana potrebbe esserci la sospensione della didattica
http://www.mat.unimi.it/~cecilia |
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Con oggi finisce la prima parte del corso, dalla prossima volta si passerà alle equazioni differenziali.
Per concludere la parte sulle serie e successioni abbiamo visto alcuni esempi sulle serie di Fourier, oltre a un paio di teoremi sulla convergenza uniforme, sempre riguardo le serie di Fourier.
Come ultimo concetto abbiamo visto la distanza tra funzioni che può essere calcolata come integrale della differenza tra due funzioni. Le serie di Fourier approssima la somma della funzione di partenza facendo in modo che l'integrale (quindi l'area tra le due funzioni) tenda a zero. Questo è un po' il significato delle serie di Fourier. |
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Nella prima parte della lezione abbiamo visto un accenno al problema di Cauchy per le equazioni differenziali, dimostrando come l'equazione y' = ... (quella con gli integrali) costituisca la soluzione al problema.
In seguito abbiamo visto le equazioni di Bernoulli che consentono di risolvere problemi di Cauchy quando la variabile (la y) è presente con un esponente e non è solo di primo grado. |
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Dopo la correzione dell'esercizio della volta scorsa abbiamo visto due proprietà delle equazioni di Bernoulli.
nel caso in cui alfa sia > 1 sia y che z saranno dovranno sempre essere diverse da zero, l'intervallo di definizione andrà quindi scelto in base al valore di y0
per alfa compreso tra 0 e 1 si può dire che se y0 = 0 allora y = 0 è soluzione dell'equazione ma non è detto che sia unica.
Per trovare altre soluzioni è necessario fare dei ragionamenti, in particolare osservare il segno della derivata.
Ultimo argomento del giorno è quello delle equazioni differenziabili a variabili separate.
Sono equazioni nella forma:
y' = f(x) * g(y)
informazione importante: la prof ha spiegato che d'ora in poi sarà obbligatorio iscriversi al sifa per sostenere gli esami. in caso contrario non si potrà verbalizzare! |
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Durante la lezione di oggi abbiamo visto soprattutto esempi riguardanti le equazioni differenziali a variabili separabili.
In seguito abbiamo visto un particolare tipo di equazioni, dette omogenee, le quali possono essere ricondotte a equazioni a variabili separabili tramite una sostituzione di variabile. |
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Abbiamo concluso l'argomento delle equazioni differenziali vedendo un ultimo tipo di equazioni per il quale è possibile operare una sostituzione di variabili.
In seguito c'è stato un accenno alle funzioni in più variabili. Per ora si è parlato solo di equazioni in due variabili.
Abbiamo visto la nozione di continuità di una funzione e quella di derivata parziale rispetto a una delle variabili. Infine alcuni teoremi per determinare l'esistenza e l'unicità di soluzioni.
martedì 30 non ci sarà lezione causa sciopero! |
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Durante la lezione odierna abbiamo visto un altro teorema per l'esistenza di soluzioni dei problemi di Cauchy che non possono essere catalogati in quelli già visti (variabili separabili, Bernoulli...).
Infine abbiamo parlato degli integrali impropri, ovvero degli integrali che sono definiti su un intervallo chiuso in uno degli estremi e aperto nell'altro. Tali integrali vengono risolti attraverso il calcolo dei limiti. |
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La lezione di oggi ha riguardato le equazioni differenziali di ordine n.
Dopo una breve presentazione di questo tipo di equazioni differenziali si è passato a un metodo risolutivo, applicato ad equazioni di secondo grado.
Il metodo è "dell'abbassamento di grado" e tramite uno scambio di variabile permette di ricondurre un'equazione differenziale di secondo grado a una di primo, risolvibile con i metodi visti in precedenza. |
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Oggi si è parlato di equazioni differenziali di ordine n e di un metodo risolutivo alternativo a quelli già visti.
Si tratta di ricercare soluzioni particolari di equazioni differenziali lineari a coefficenti costanti NON omogenee, detto "delle funzioni simili".
Abbiamo visto diversi esercizi a riguardo
Giovedì siamo già in vacanza, la prima lezione è martedi 11 gennaio |
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Oggi abbiamo visto le equazioni differenziali di Eulero con due metodi risolutivi, quindi abbiamo fatto un paio di esercizi risolti con entrambi i metodi.
Attenzione: Martedì prossimo la lezione sarà in aula 300 e non in 301
La prof ricorda inoltre che l'iscrizione agli esami tramite sifa è obbligatoria, non se ne può più fare a meno altrimenti non è possibile verbalizzare
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Si è visto il modello di Lotka Volterra per i sistemi lineari di equazioni differenziali.
Tale modello differisce da quello visto in precedenza poiché le due equazioni sono nella forma:
p'1 = a p1 - b p1 p2
p'2 = c p1 p2 - d p2
Abbiamo quindi visto un metodo risolutivo per questo tipo di sistema
In seguito abbiamo visto l'equivalenza del problema di Cauchy con il problema integrale di Volterra, cercando soluzioni al problema di Volterra che è simile a quello di Cauchy tranne che per le condizioni iniziali (non è necessaria la derivabilità della funzione y ma solo che sia continua) |
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L'argomento di questa ultima parte del corso è quello dell'approssimazione di soluzioni.
In questa lezione sono stati affrontati due metodi:
Il metodo delle approssimazioni successive iterate di Picard e il metodo di Eulero esplicito. |
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l'appello è domani alle 10 in via Saldini, aula 8
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