ghost80

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Ciao a tutti!
Ieri ho fatto lo scritto con DeFalco, era moolto più lungo del solito ma non eccessivamente difficile.
C'è un esercizio che mi ha lasciato perplesso e che non riesco a spiegarmi, provo a postarlo qui....

Ma nell'orale chiede solo le dimostrazioni dei teoremi principali (che so, chebyshev, teo centrale statistica e roba così) e di quelli usati nello scritto o anche di quelli che neanche lui conosce??? Vorrei cercare di capire un po' cosa studiare...



ES V
Estrazione di un campione di dimensione n senza reimmissione da una popolazione di m elementi di cui k = p*m difettosi
La variabile casuale Yi assume il valore 1 se l'i-esimo elemento estratto è difettoso, altrimenti 0
Tn = Y1 + Y2 + ... + Yn è quindi il totale di elementi difettosi sul campione n estratto
1) Y1...Yn sono quindi non indipendenti (non c'è reimmissione)
2) Tn ha distribuzione ipergeometrica f(t, m, k, n)
3) E(Tn/n) = E(Tn) /n = (n * k/m) /n = k/m = p (Tn/n è uno stimatore non distorto di p)
4) var(Tn) = n * p * (1-p) * (m-n)/(m-1) = n * k/m * (m-k)/m * (m-n)/(m-1)
..........

Fin qui tutto regolare. Ora il bello: l'esercizio 6 dice: utilizzando Chebyshev si controlli che

P( abs(Tn/n - p) < eps ) >= 1 - (m-n) / (eps^2 * n * 4 * (m-1))

Allora: qui al posto di 1 - delta è stato scritto 1 - var / (eps^2 * n)
Quello che non riesco a capire è che varianza è stata usata !!!
Al posto di p * (1-p) è stato usato 1/4, che è il suo valore massimo; la formula della varianza utilizzata sembrerebbe quindi essere ovviamente

var = p * (1-p) * (m-n)/(m-1)

cioè var(Tn)/n ! Ma per quale motivo??? Essendo Tn/n la media campionaria di Yi, nella formula di cheby dovrebbe essere usata la varianza della variabile
originale, cioè Yi; se gli Yi fossero indipendenti sarebbe
var(Tn) = var(Y1) + ... + var(Yn) = n * var(Yi)
ma visto che non lo sono, nella formula della somma delle varianze ci andrebbe dentro anche la covarianza, diversa da zero visto che le variabili Yi non sono indipendenti...

Quindi non capisco da dove arriva la varianza utilizzata nella formula di cheby... oppure per qualche motivo la varianza degli Yi è veramente quella??

Aiutoooo! Cosa gli racconto all'orale???

Grazie a tutti per l'aiuto.....

Ghost

Last edited by ghost80 on 13-01-2005 at 14:56

Black Morgoth

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Da quello che mi ricordo l'errore sta che il delta è stato scritto 1 - var / (eps^2 * n) non è corretto. In realtà

var (Tn) = n (m - n) p(1 - p)/(m - 1)
var (Tn/n) = (m - n) p(1 - p)/n (m - 1)

però questo è un mio calcolo personale... non so se sia giusto oppure no.
Di conseguenza bisognerebbe scrivere così 1 - var / (eps^2 ). Ripeto però: è solo una mia impressione e per quanto ne so io potrebbe essere una grossa baggianata.
Poi per il resto è dura anche per me, quindi se ci fosse qualcuno a dare una mano!