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ayakochan |
the real puppet
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ecco le risposte!
Definizione di applicazione: Diciamo che ins. vuoto è un’applicazione tra A e B se per ogni a € A esiste uno e un solo b € B tale che (a,b) € ins.vuoto.
Definizione di applicazione iniettiva:Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.
Un esempio di applicazione iniettiva ati gli insiemi A={1,2,3}, B={1,4, 9,16} considera la funzione che ad un elemento di x associa il suo quadrato
Un esempio di applicazione non iniettivaati gli insiemi A={-3,-2,-1,1,2,3}, B={1,4, 9,16} considera la funzione che ad un elemento di x associa il suo quadrato.
Definizione di applicazione suriettiva:Un’applicazione f : A à B si dice suriettiva se ogni b € B è l’immagine di almeno un a € A.
Esempio suriettiva :A{4,9,1} B{2,1,3} x è il quadrato di y
Esempio non suriettiva:
A{4,9,1} B{2,1,3,5} x è il quadrato di y
Biunivoca:Un’applicazione che è sia iniettiva che suriettiva si chiama biiettiva o biunivoca.
Definizione di relazione tra due insiemi :E' definita una relazione tra due insiemi non vuoti A, B (che possono anche coincidere) quando è dato un modo per associare a certi elementi di A elementi di B.
Considera i due insiemi A={3,4,5,6} B={2, 3, 4}
La relazione R sia definita nel seguente modo:
x r y Û x è multiplo di y
Definizione di relazione d’ordine:Una relazione è d’ordine se soddisfa le seguenti le proprietà transitiva riflessiva e antisimmetrica
Un esempio di relazione d’ordine: R={(x,y)|x ≥y}
E' riflessiva perché ciascun elemento è in relazione con sé stesso. E' antisimmetrica perché se x³ y Þ non può essere y³x .E' transitiva perché se x³ y e y³z Þ x³z
Un esempio di relazione non simmetrica e nemmeno antisimmetrica:X={a,b,c} ed R1={(a,a)(a,b)(b,b)(b,c)(c,b)} incluso X2
Proprietà riflessiva :Una relazione definita in un insieme A si dice riflessiva se ogni elemento x€A è in relazione con se stesso. " xÎA xrx
Proprietà simmetrica:Una relazione definita in un insieme A si dice simmetrica quando presi due elementi x,y € A se è xry allora è anche yrx. " x,yÎA se xry=>yrx
Antisimmetrica:Una relazione definita in un insieme A si dice antisimmetrica se per ogni copia di elementi x,yÎA tali che x¹y se xry allora non è yrx. " x,yÎA e x≠y se x=>non è y r x
Proprietà transitiva :Una relazione definita in un insieme A si dice transitiva se presi comunque tre elementi x, y, z e tali che sia xry e yrz, allora è anche xrz, allora è anche xrz. " x, y, zÎA se xry e yrz se xry e yrz Þxrz
Relazione d’equivalenza:Una relazione definita in un insieme A si dice di equivalenza se è riflessiva simmetrica transitiva. Es. R={(x,y)| x risiede nella stessa città di y}
Definizione di classe di equivalenza : Diremo classe di equivalenza individuata dall’elemento a di X l’ insieme degli elementi di X che sono equivalenti as a nella R; in simboli [a]R= {x € X | x R a}
Definizione di operazione in un insieme.
Una operazione binaria è una legge che associa ad ogni coppia di elementi di un insieme un terzo elemento: il risultato. In particolare se per ogni coppia di elementi dell'insieme il risultato appartiene ancora all'insieme si dice che l'insieme è chiuso rispetto all'operazione.
Un esempio di operazione associativa.
Un esempio è l’operazione di unione di A e B l’insieme deglie elementi che appartengono ad A o a B (o ad entrambi) e la si indica con il simbolo A U B, cioè A U B ={x € U | x € A o x € B} ={x € U | x € A v x € B} (AUB) U C = (A U B ) = C
Un operazione “ * ” su un insieme X si dice
Associativa
Se per ogni a , b, c € X è ( a * b) * c = a* (b*c)
Commutativa
Se per ogni a,b € X è a * b = b* a. A U B =B U A
Distributiva:Sia data una struttura algebrica . Si dice che la seconda operazione gode della proprieta' distributiva rispetto alla prima operazione se valgono le due seguenti uguaglianze:
distributiva a sinistra distributiva a destra
Elemento neutro
l' elemento neutro di un insieme X dotato di una operazione binaria X x X → X che associa ad una coppia di elementi (a, b) un altro elemento, che indichiamo con a * b, è l'elemento componendo il quale "non si modifica nulla"; in altre parole è l'elemento e tale che a * e = e * a = a per ogni a in X.
Elemento inverso. Dato un gruppo (G, . ), e un suo elemento g, si definisce elemento inverso di g un h appartenente a G tale che: g x h =h x g = 1G dove 1G indica l'elemento neutro del gruppo. Lo si indica con il simbolo g − 1. Esso è unico e se h è inverso di g, g è inverso di h.
Operazioni tra insiemi. Si dice operazione tra X e Y a volori in Z una qualunque applicazione g:X x Y àZ. Se (x,y) € X x Y. L’elemento z = g(x,y) è detto risultato dell’operazione sulla coppia (x,y). Quando i tre insiemi coincidono, g si dice operazione su X o legge di composizione interna su X.Un esempio di operazione non associativa. Intersezione:Nella teoria degli insiemi, l'intersezione di due insiemi A e B è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.
Definizione di radice di un polinomio in un campo. Una radice di un polinomio p(x) è un numero b tale che p(b) = 0, cioè tale che, sostituito a x, rende nulla l'espressione. Quindi se il se numero b é radice
In altre parole, l'insieme delle radici è data
dall'intersezione del grafico di p con l'asse delle
ascisse. Un polinomio di grado n può avere al più
n radici distinte.
Un esempio di polinomio non costante che non abbia alcuna radice. polinomio che ha tutti i coefficienti di grado positivo nulli. Esempio: In Q[x] il polinomio x^2-1/2 nn ha radici.
Quando `e possibile effettuare il prodotto riga per colonna di due matrici?. Si puo effettuare il prodotto se presi due matrici a e b es. 3x2 2x3 cioè
(p x q)(r x s) q=r.
L’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 rispetto al prodotto riga per colonna `e un gruppo?
Definizione di permutazione su n elementi.
Per ogni intero positivo n, indichiamo con n l’insieme delle permutazioni su n
elementi, ossia l’insisme di tutte le applicazioni bigettive
σ : {1, . . . , n} ! {1, . . . , n}.
Quando si dice che una permutazione `e pari?
Una permutazione σ € Sn si dice pari (dispari) se si decompone in un numero pari (dispari) di scambi
σ =(12)(345) sgn(σ =(1)1x(1)2=-1 dispari
τ= (1234)(56) sgn(τ =(-1)3x(-1)1=1 pari
E’ vero che la composizione di due permutazioni pari `e ancora pari?
Si componendo due permutazioni pari risulta ancora una permutazione pari.
Es (1234)(56) x (1234)(56) = (341)(256)
E componendo due permutazioni dispari che tipo di permutazione si ottiene?
Si ottiene una permutazione dispari es. (12)(345) x (12)(345)=(354)
Quando una relazione un’applicazione?.
Un’applicazione di X in Y `e una corrispondenza
f incluso X × Y tale che:
(1) per ogni x € X, esiste y € Y tale che (x, y) € f;
(2) se x € X, y1, y2 € Y , da (x, y1) € f e (x, y2) € f segue che y1 = y2. Dire che f `e un’applicazione di X in Y significa allora dire che ogni x € X ha uno ed un solo
corrispondente y € Y rispetto a f.
Un esempio di relazione tra {a; b; c} e {1; 2; 3; 4} che non sia un’applicazione. (a,1)(b,2)(c,3)(a,2)
Un esempio di relazione tra {a; b; c} e {1; 2; 3; 4} che sia un’applicazione. (a,1)(b,2)(c,3)
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IlBodoz
