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Tema d'esame del 10/10/2002

il punto 1A del primo esercizio è il seguente : M può assumere n2 valori. Questo perchè se estariamo n2 palline può accadere che nessuna pallina estratta è marcata. Ma allo stesso modo può succedere che se estraiamo n2 palline, può accadere che tutte le n2 palline siano marcate e quindi la variabile M assumerà il valore n2. L'intervallo di valori assunti da M è di conseguenza [0,n2] dove n2 è il numero di palline estratte dall'urna.

E' GIUSTO COME RAGIONAMENTO??

punto 1b fm(m;n) = Pn(M=m) = coeff bin (n,m) p^m(1-p)^n-m. Conosco p ??? Si perchè p è dato dal numero di palline marcate/ numero totale di palline presenti in urna. Se numero di palline marcate è pari a n1 e numero di palline totali presenti in urna è uguale a n (dato derivato dalla somma di n1 e n2) allora :

Pn(M=m) = coeff bin (n,m) p^m(1-p)^n-m è uguale a : coeff(n,m) * (n1/n1+n2)^m * (1-n1/n1+n2)^(n-m). Mi sorge un dubbio se n = n1 + n2, posso sostituire n con n1+ n2 ???

Grazie

punto 2 : essendo M binomiale per trovare il suo valore atteso possiamo fare riferimento al valore atteso di una variabile binomiale. Sia X una variabile binomiale di parametri n e p, allora il valore atteso di X è la quantità E(X) = np. Tornando al nostro caso, scriveremo che il valore atteso di M, indicato come la quantità E(M) = n *(n1/n1+n2) dove abbiamo lasciato indicato n e al valore di p abbiamo sostituito n1/n1+n2.

E' giusto come ragionamento???

il terzo punto può essere risolto in questa maniera. Sapendo che M è una variabile binomiale, faccio riferimento al caso generale dove suppongo che la variabile aletoria sia binomiale di parametri n e p. Quindi la varianza di questa variabile è np(1-p). Nel nostro caso possiamo applicare questa espressione con p = n1/n1+n2 riscrivendo l'espressione generale : n * (n1/n2+n1) *(1- n1/n2+n1) = n* (n1/n1+n2) * (n2/n1+n2) = (n*n1*n2)/(n1+n2)^2.

E' giusto come procedimento?