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Tema d'esame 11/07/2001

Ciao posto questo esame come eserciatazione per preparare l'eame di statistica, un esame che secondo me è possibile passare

ecco che si comincia la correzione del tema d'esame

punto 1: La variabile è esponenziale quindi fx(x;λ = λ * (e^(-λx)), mentre la funzione di ripartizione si può ottenere integrando fx(x;λ. Calcoliamo tale valore ∫fx(x;λ dx . tale integrale deve utilizzare come intervallo [0;∞.∫λ * (e^(-λ) dx. Tale funzione comulativa è data da : 1 - (e^(-λx). sappiamo che la legge di densità di probabilità è ottenuta differenziando la funzione comulativa o di ripartizione d/dx [1-(e^(-λx)] ottenendo 0-(-λe^(-λ = λ * (e^-λ che non è altro che la legge di probabilità di una v.c. esponenziale

Ecco i grafici di fx(x;landa)

ecco i grafici

Quelli della funzione di ripartizione

grafici della funzione di ripartizione

ecco i grafici della funzione di ripartizione

1.2 sia Sn= ∑ Xi dove le variabili Xi sono estratte da un campione casuale da una popolazione che ha distribuzione esponziale . Sappiamo che le variabili estratte da un campione di ampiezza m sono indipendenti [....] ma non sono sicuro !!! Se cosi fosse il valore atteso E[∑ Xi] = ∑ E[Xi] dove la sommatoria è estesa da tutti gli i che vanno da 1 a m . Essendo estratte da uno stesso campione, allora le variabili sono identicamente distribuite, cioè hanno la stessa distribuzione, che nel nostro caso è esponenziale . Quindi il valore atteso di ogni singola variabile è 1/λ e il valore atteso è dato da m/λ . Questo dal fatto che abbiamo m variabili indipendenti e identicamente distribuite.
La varianza ha un calcolo del tutto simile. Dalla definizione informale sappiamo che la varianza di una somma di variabili casuali è uguale a ∑ var[Xi] + 2 ∑∑cov(Xi,Xj) dove i != j. Se tali v.c. sono indipendenti allora cov(Xi,Xj) è pari a 0. In conclusione la varianza di una somma di v.c. indipendenti è uguale a ∑ var[Xi] = m var[Xi] = m/λ^2

1.3 Non stiamo a dimostrare la disguaglianza in quanto è stata già dimostrata in precedenti esami : ℮ = 0,1 delta = 0,1.
m> M(λ M(λ = (1/λ^2) / 0,1 * 0,1 * 0,1 ----> (1/ λ^2 * 1/0,001) = 1/λ^2 * 0,001
se λ = 1/12 1/ 0,08 * 0,001 = 1200
se λ = 1/24 1 / 0,041 * 0,001 = 2400
se λ = 1/36 1/ 0,027 * 0,001 = 3600