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Esercizio Applicazioni

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe risolvere questo esercizio per piacere?

Sia Q l’insieme dei numeri razionali e si consideri l’applicazione
f : Q ---> Q
cos`ı definita:
f(x) = 2x + 2.
Si denotino con f^-1 = f o f2 = f o f, f3 = f o f o f, ... le applicazioni che si
ottengono componendo f con se stessa iteratamente.
Si dimostri, per induzione su n, che, per ogni n >= 1, `è:
f^n(x) = 2^n x + 2^n+1 − 2.

Allego la preparazione al compitino dell'anno scorso. Se non si capisce bene(qualche simbolo) E' l'esercizio m del pdf. Ciao!

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" So I Start The Revolution From My Bed ". Noel Gallagher

Verifichiamo che la nostra proposizione sia vera per n=1
f(x)=2x+2 P(1)=2^1x+2^(1+1)-2=2x+4-2=2x+2
----> f(x)=P(1) --------> P è vera per n=1

Supposta P(n-1) vera, ciò implica che anche P(n) è vera, infatti:
f^(n-1)(x)=f*f*...*f(x) (n-1 volte f )
P(n-1)=f^(n-1)(x)=2^(n-1)x+2^(n-1+1)-2=2^(n-1)x+2^n-2 (è la nostra ipotesi d'induzione)

f^n(x)=f*f*...*f*f(x) (n volte f)
----> f^n(x)=f(P(n-1))=f(2^(n-1)x+2^n-2)=2*(2^(n-1)x+2^n-2)+2= (ho solo applicato la funzione considerando P(n-1) come "variabile" su cui applicare la funzione stessa; in pratica ho fatto 2*P(n-1)+2)

(continuo da sopra) =2*2^(n-1)x+2*2^n-2*2+2=2^nx+2^(n+1)-2
che infatti è proprio uguale alla nostra proposizione com'era scritta nel testo del problema, di conseguenza P(n) è verificata e quindi P vale per ogni n>=1.

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And all those moments will be lost in time, like tears in rain...

Anche io avrei un altro esercizio, preso dal compitino del 2002!
Si consideri l'applicazione
f: Q X Z --> Q
così definita:
f(a, b) = ab
si stabilisca se f6 è suriettiva e se è iniettiva, giustificando le risposte.

L'iniettività mi risulta falsa quindi la dimostro con un esempio numerico ma con la suriettività come faccio?

Devi dimostrare che per un qualsiasi elemento di Q esiste almeno una coppia di elementi appartenente a QxZ tale che la loro immagine sia l'elemento stesso; di conseguenza dovrai fare una dimostrazione costruttiva.
sia q un generico elemento appartenente a Q tale che f(a,b) = q ---> q=ab
ne consegue che:
1) a=q/b; essendo a appartenente a Q, se io divido un numero appartenente a Q per uno appartenente a Z otterrò sempre un altro numero appartenente a Q.
Per esempio 3/5 appartiene a Q, lo divido per 5 che appartiene a Z, il risultato è 3/25 che appartiene anch'esso a Z.
2)b=q/a; se q appartiene a Q esisterà sempre almeno un elemento a tale che se si divide q per a si ottiene un numero appartenente a Z, infatti se noi dividiamo un numero di Q diverso da 0 per sé stesso otteniamo 1 che appartiene a Z; se q fosse uguale a 0 ancora meglio, basterebbe dividerlo per un qualsiasi numero per ottenere ancora 0 che appartiene anch'esso a Q.
---> abbaimo dimostrato che per ogni q appartenente a Q esiste almeno una coppia (a,b) appartenente a QxZ tale che f(a,b)=q ----> f è suriettiva

Non so se dimostrata così sia correttissima, io questo esercizio l'avevo risolto così; forse bisognerebbe dire che Q è chiuso rispetto al prodotto, ma non so, mi sa che ci si complicherebbe per niente le cose, finendo magari per dire delle stronzate.

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Grazie! Comunque speriamo non capiti un esercizio simile perchè quando incominciano a saltare fuori troppe lettere mi perdo!!