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[Help] - Intersezione sottospazi

Buongiorno a tutti.
Ho provato a cercare sul forum ma non ho trovato nulla che mi potesse aiutare su questo argomento.

Il mio problema si basa principalmente sulla formula di Grassmann:

dim(S + T) + dim(S ∩ T) = dim S + dim T

Prima domanda: qualcuno riuscirebbe a spiegarmi come posso calcolare singolarmente dim(S + T) e dim(S ∩ T)
(Cioè esistono delle formule o dei procedimenti precisi?)

Per quanto riguarda l'intersezione ho guardato le soluzioni del libro postate su un altro thread, il pdf "6229-0_11" e mi ritrovo fermo agli esercizi 11.8 e 11.9 alle pagine 164-165

11.8
Vettori S = [(1, 1, 2), (1, 1, 1)] e T = [(1, 2, 3), (2, 1, 2)] --> sono 2 sottospazi di R3 = V3(R)

S ∩ T = {(x, y, z) |(x, y, z) = a(1, 1, 2) + b((1, 1, 1) = c(1, 2, 3) + d(2, 1, 2)}

Ok fin qui capisco che si arriva a creare un sistema, ecco le soluzioni del sistema:
a = 2c, b = c, d = c

Poi dice:
"Quindi i vettori appartenenti ad S ∩ T sono tutti e soli i vettori della forma (x, y, z) = c(1, 2, 3) + c(2, 1, 2) = c(3, 3, 5) "

Mi sapreste spiegare con che ragionamento arrivo alla soluzione dell'intersezione? Cioè perchè viene scritto proprio "c(1, 2, 3) + c(2, 1, 2)"....non capisco il nesso logico con le soluzioni del sistema...magari è banale ma non riesco a capirlo

Grazie mille..

Ok...

come sempre ci si incasina sulle cose + banali, riguardando sono riuscito a capire che cavolata fosse...

ora cmq ripropongo la prima domanda..

conoscete qualche metodo o formula per calcolare

dim(S + T)
o
dim(S ∩ T)

singolarmente?