.dsy:it. - [Informatica] 2º compitino

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Posted by homerfdl on 14-06-2006 11:58:

qualcuno mi puo spiegare come si fa lo sviluppo al ^2 grado del ln(1-2x+x^2)
grazie!!!

Posted by ar70 on 14-06-2006 12:46:

se ti riferisci all' esercizio del compitino, dovevi riconoscere in x^2 -2x +1 il quadrato di (x-1)
quindi diventa 2ln(x-1) che sommato a 2ln(x+1) fa
2ln(x^2-1) che è 2x^2 + o(x^2)
al denominatore avevi x^2 + o(x^2) per cui il limite tende a 2

...spero!!!

come vi è sembrato questo compitino??

Posted by Col. Kurtz on 14-06-2006 14:19:

Originally posted by ar70
se ti riferisci all' esercizio del compitino, dovevi riconoscere in x^2 -2x +1 il quadrato di (x-1)
quindi diventa 2ln(x-1) che sommato a 2ln(x+1) fa
2ln(x^2-1) che è 2x^2 + o(x^2)
al denominatore avevi x^2 + o(x^2) per cui il limite tende a 2

...spero!!!

come vi è sembrato questo compitino??

Mmm, ora che ci penso, lo sviluppo di taylor centrato in zero del logaritmo, non è valido per 1 + una quantità infinitesima? (Cioé, 1 deve essere positivo, visto che in 0 - 1 il logaritmo non ha senso?)

Io ho sviluppato i due logaritmi separatamente, ovvero prendendo tutto x^2 - 2x come quantità infinitesima. Come limite mi veniva -2 (in realtà nel compitino ho dimenticato di dividere per 2 e quindi ho scritto -4, ma è colpa del black metal).

Il compitino m'è sembrato "giusto", l'unico problema è che non riesco mai a stare attento.

Infatti, ho avuto problemi sull'esercizio dei massimi e minimi perché sbagliavo la derivata in una maniera idiota. Quando me ne sono accorto, era troppo tardi e ho dovuto consegnare.

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È odio, odio puro, una pietra morta, merda piena di mosche, sorrisi di plastica, vomitarsi dentro... nessuna paura per la paura di aver paura, soldi in tasca e fame in bocca, buonasera e odio negli occhi, non ce la faccio più

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Posted by Col. Kurtz on 14-06-2006 14:24:

Originally posted by homerfdl
qualcuno mi puo spiegare come si fa lo sviluppo al ^2 grado del ln(1-2x+x^2)
grazie!!!

Ricollegandomi al discorso del post precedente, ho sviluppato come:

ln(1 - 2x + x^2) = ln(1 + x(x - 2)) = x(x - 2) - (x^2(x - 2)^2) / 2 + o(x^2).

Ovvero x^2 - 2x - (4x^2)/2 = x^2 - 2x - 2x^2

Praticamente, dell'elevamento al quadrato compariva soltanto il quadrato di -2 per x^2, gli altri termini (-x^4, 4x^3) erano tutti o(x^2), ho proprio evitato di calcolarli.

Non ho sottratto 2x^2 da x^2 perché x^2 si semplificava con quello dell'altro logaritmo.

Posted by darkAntAreS on 14-06-2006 14:59:

Originally posted by Col. Kurtz ln(1 - 2x + x^2) = ln(1 + x(x - 2)) = x(x - 2) - (x^2(x - 2)^2) / 2 + o(x^2).

si poteva anche fare:
ln(1 -2x + x^2) = ln(1 - x)^2 = 2ln(1 - x)

il limite poi veniva -2, semplificando sopra e sotto x^2 e dicendo che x->0...
almeno io ho fatto così

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"Ash nazg durbatulûk, ash nazg gimbatul, ash nazg thrakatulûk agh burzum-ishi krimpatul"

Posted by ar70 on 14-06-2006 16:32:

Originally posted by Col. Kurtz
Mmm, ora che ci penso, lo sviluppo di taylor centrato in zero del logaritmo, non è valido per 1 + una quantità infinitesima? (Cioé, 1 deve essere positivo, visto che in 0 - 1 il logaritmo non ha senso?)

beh, ho dimenticato che (x^2 - 1) lo puoi vedere come (1+x^2 -2)

e quindi lo sviluppo è 2x^2 -4 + o(x^2) che è asintotico a x^2

Posted by Col. Kurtz on 14-06-2006 16:36:

Originally posted by darkAntAreS
si poteva anche fare:
ln(1 -2x + x^2) = ln(1 - x)^2 = 2ln(1 - x)

il limite poi veniva -2, semplificando sopra e sotto x^2 e dicendo che x->0...
almeno io ho fatto così

Si, così si, vengono anche gli sviluppi fino al 3° ordine, e suppongo sia uguale anche oltre. :asd:

Diciamo che ero così fuso da non vedere il quadrato.

Resta il fatto che lo sviluppo di 2ln(x^2 - 1) in 0.

Cioé, lo sviluppo sarebbe, con f(x) = ln(x^2 - 1)

f(0) + f'(0)(x - 0) +...

e f(0) = ln(0 - 1), che non è definita.

Posted by ar70 on 14-06-2006 16:37:

Originally posted by Col. Kurtz

Il compitino m'è sembrato "giusto", l'unico problema è che non riesco mai a stare attento.

Infatti, ho avuto problemi sull'esercizio dei massimi e minimi perché sbagliavo la derivata in una maniera idiota. Quando me ne sono accorto, era troppo tardi e ho dovuto consegnare.

pensa che io nella derivata ho sbagliato il minimo comune multiplo
ho detto che dueradice di x per radice di x è uguale a DUE!!!
comunque è l'unico esercizio che non ho ricontrollato per mancanza di tempo...e ovviamente ho fatto il solito errore cretino!! spero almeno che sia l'unico...o uno dei pochi...

Posted by Col. Kurtz on 14-06-2006 16:38:

Originally posted by ar70
beh, ho dimenticato che (x^2 - 1) lo puoi vedere come (1+x^2 -2)

e quindi lo sviluppo è 2x^2 -4 + o(x^2) che è asintotico a x^2

Si, ma come ho scritto sopra, il primo termine dello sviluppo in 0 è f(0).

Forse ti sei confuso, dato che di solito non si scrive perché ln(1 + 0) = ln(1) = 0.
Preparatela che te la chiedono all'orale.

Posted by darkAntAreS on 14-06-2006 18:26:

passiamo alla serie?
io mi sono accorto di aver fatto una cavolata mostruosa, ma vabbè...
a mente lucida credo sia:
serie(da 1 a inf) (x - 1)^n / rad(n)

usando il criterio del rapporto si ha
lim per n->inf di ( (x-1)^(n+1) / rad(n+1) ) * ( rad(n) / (x - 1)^n )...dicendo che per n -> inf si ha rad(n+1) asintotico a rad(n) si poteva semplificare anche quello e veniva:
x - 1
per x < 2 la serie converge (mi pare, magari è il contrario)
per x > 2 la serie diverge
per x = 2 la serie diverge (diventa 1 / rad(n) che è un'armonica)

sempre se mi ricordo giusto...qualcuno conferma?
io ho cannato il caso di x = 2 e l'ho messo nella convergenza

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Posted by Col. Kurtz on 14-06-2006 19:19:

Originally posted by darkAntAreS
passiamo alla serie?
io mi sono accorto di aver fatto una cavolata mostruosa, ma vabbè...
a mente lucida credo sia:
serie(da 1 a inf) (x - 1)^n / rad(n)

usando il criterio del rapporto si ha
lim per n->inf di ( (x-1)^(n+1) / rad(n+1) ) * ( rad(n) / (x - 1)^n )...dicendo che per n -> inf si ha rad(n+1) asintotico a rad(n) si poteva semplificare anche quello e veniva:
x - 1
per x < 2 la serie converge (mi pare, magari è il contrario)
per x > 2 la serie diverge
per x = 2 la serie diverge (diventa 1 / rad(n) che è un'armonica)

sempre se mi ricordo giusto...qualcuno conferma?
io ho cannato il caso di x = 2 e l'ho messo nella convergenza

Perché quello del rapporto? Io ho usato il criterio della radice, con il valore assoluto.

1^1/n / n^(1/2n) tende a 1, quindi il limite tende a |x - 1|.
Quindi se |x - 1| < 1, si aveva convergenza assoluta per 0 < x < 2.

Mentre per valori da 2 in poi la serie diverge, se x = 0 converge per Leibnitz.

Infatti (x - 1)^n diventava (-1)^n, e quindi avevamo una serie alternata.
n^(-1/2) tende a zero per n -> +infinito, ed inoltre è strettamente decrescente (ho preso la funzione x^(-1/2) con x reale, e la derivata prima mi veniva minore di zero per tutti gli x > 0, di conseguenza lo era per tutti gli n da 1 a + infinito).

Quindi si aveva convergenza per 0 <= x < 2.

Spero. :asd:

Posted by darkAntAreS on 14-06-2006 22:13:

ecco.
grazie Col. Kurtz, se non altro ora so che almeno 5 punti me li sogno

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Posted by dix979 on 14-06-2006 23:02:

6 prego, la prof ha detto che in questo compito gli esercizi valevalo 6 e non 5

Posted by Antonio86 on 15-06-2006 07:27:

Non era complesso il compito, almeno non tutto, però come al solito si fanno errori di distrazione, pensate che io nell'integrale 1/t^4 l'ho integrato come 4log(t) !!!! mentre sopra mancava 4t^3...sono il solito frettoloso...
Il lim lo avevo fatto giusto ma dato che sono pieno di dubbi ho scritto una cosa fuori dal mondo quindi mi sogno i punti di mac laurin.
A voi come è andata in totale?

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Posted by darkAntAreS on 15-06-2006 08:40:

in totale? penso abastanza bene...ho sbagliato una buona metà abbondante della serie e mi sono dimenticato di mettere il dominio nell'esercizio di cauchy (o meglio, ho messo da qualche parte "per x < 0", ma non credo valga )...il resto penso bene, anche se probabilmente ci saranno scritte delle vaccate qua e là...

se è vero quello che ha detto dix979...beh, che dire, ho un sorrisone a 32 denti stampato sulla faccia

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