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-- Appello Defalco 10 Giugno (http://www.dsy.it/forum/showthread.php?threadid=38496)

Stasera posto le mie soluzioni dell'appello, cerchiamo d'essere collaborativi almeno qui che c'e' un orale in ballo

Dico solo che non mi e' sembrato un tema ESAGERATAMENTE difficile, ho saltato solo il punto 4 e 5 dell'ultimo esercizio perche' ero andato nel pallone.

ciao simeon....i primi 2 esercizi mi sembravano troppo facili...e così all'inizio del terzo ho perso tutte le speranze di passare statistica..

Ma guarda, ho sentito che viene ammessa gente all'orale con uno scritto non proprio perfetto, non so con due esercizi effettivamente...

Comunque, ecco le mie soluzioni. Gli orali sono il 15 per cui qualcun altro corregga o integri al piu' presto.

Esercizio I

1) Dato che X e' una poissoniana di parametro λ allora fX(x) e' uguale a ( e^(-λ )*λ^x )/ x! , copiata dal libro.

2) Anche qui ho semplicemente copiato dal libro, per cui per una poissoniana di parametro λ, E(X)=VAR(X)=λ

3)

P(X=0) = e^-λ

P(X>0) = 1- P(X <= 0) = 1- P(X=0) = 1-e^-λ

4) Qui ho preso il grafico della densità a pagina 103 (quello con λ=1) e ne ho ricavato quello della funzione di ripartizione sommando i vari valori dei punti.

Esercizio II

1) E(Tn)=E(1/n*sommatoria Xi)=1/nE(sommatoria Xi)=1/n*n*E(Xi)=λ

2) VAR(Tn)=VAR(1/n*sommatoria Xi)=(1/(n^2))*VAR(sommatoria Xi)=(1/(n^2))*n*VAR(Xi)=1/n*λ=λ/n

per cui dev standard = radice(VAR(Tn) = RADICE(λ/n)

3) Dato che Tn e' uno stimatore non distorto di λ (come abbiamo provato nel punto 1), allora MSE(Tn)=VAR(Tn)= (λ/n)

4) La non distorsione di Tn l'abbiamo gia provata, per vedere se e' consistente facciamo lim (n->+inf) di MSE(Tn) ovvero lim (n->+inf) VAR(Tn) = lim (n->+inf) λ/n = 0

Per cui Tn e' non distorto e consistente in media quadratica (e quindi anche semplicemente consistente)

Esercizio III (dove iniziano i dubbi)

1) Qui ho usato il teorema delle prob. totali come suggerisce il testo, ottenendo

P(Y=y)=P(Y=y|X=0)*P(X=0) + P(Y=Y|X>0)*P(X>0)

Dato che X assume valori >=0 allora X=0 e X>0 coprono tutto lo spazio campionario. Sostituendo i valori delle probabilità (le abbiamo gia tutte) si ottiene il risultato che chiede il testo.

2)

Le proprietà sono

(i) fY(y) >0 per y=1,2...
(ii) fY(y) = 0 per y!=yj con j=1,2...
(iii) sommatoria fY(y) = 1

Sulla (i) e la (ii) non sono per niente sicuro di come ho risposto, io ho detto che per la (i), dato che abbiamo λ1 e λ2 >=0, allora sostituendo i valori y=1, y=2 etc. ricaviamo valori positivi.

Per la (ii) ho detto che la presenza della funzione caratteristica setta il valore della funzione a 0 per i punti diversi da 0,1,2...

La (iii) invece credo sia giusta, ma non avendo uno scanner non riesco a riportare tutti i calcoli qui, per cui ne descrivo il procedimento.

Si scrive sommatoria fY(y) per intero, sostituendo a fY(y) la funzone che abbiamo nel punto III.1 del testo. Si separa la sommatoria in due sommatorie (dato ceh all'interno di fY(y) abbiamo una somma). Da ciascuna delle sommatorie si estrapolano gli esponenziali e si lasciano, rispettivamente, λ1^y/y! e λ2^y/y! che, per la proprieta' ricordata nel suggerimento, equivalgono (in sommatoria) a e^λ1 e e^λ2. Cosi' facendo si possono semplificare alcuni termini e rimane e^-λ + 1 - e^-λ = 1

4) E qui cominciano i problemi, perche' se ho sbagliato quello che ho scritto qui mi salta tutto il resto del III e pure il IV.

c'era un esempio a pagina 167 dove sviluppava E(Y|X=2) per cui l'ho copiato e adattato qui.

E(Y|X=0) = sommatoria(y*fY|X(y|X=0)) =
sommatoria (y*P(Y|X=0)) =
sommatoria (y* ( e^-λ1 * λ1^y )/y!)

Ok. Qui ero andato DAVVERO nel pallone ed inizialmente avevo lasciato cosi' senza semplificare.

Poi ho pensato che se P(Y|X=0) ha una funzione di densità (λ1^y *e^-λ1)/y! allora Y|X=0 segue una distribuzione di poisson con parametro λ1, ed avevo ragione (a quanto pare), ma piu' sempliemente basta osservare

sommatoria (y* ( e^-λ1 * λ1^y )/y!) che e' la definizione del valore atteso di una poissoniana di parametro λ1. Insomma, dopo tutte ste parole.

E(Y|X=0) = sommatoria (y* ( e^-λ1 * λ1^y )/y!) = λ1

Lo stesso ragionamento si ripete per E(Y|X>0)

E quindi E(Y|X>0) = λ2

4)

Anche qui ho un grosso dubbio. Io ho fatto

E(Y)=E(Y|X=0)*P(X=0) + E(Y|X>0)*P(X>0) perche' in un tema del corso ombra era stato scritto qualcosa di molto simile. NON HO IDEA di quale proprieta' si sfrutti e non so nemmeno se sia giusto onestamente).

Comunque, sostituendo, viene λ1*e^-λ + λ2*(1-e^-λ )

5)

E(X+Y) = E(X)+E(Y) = λ + λ1*e^-λ + λ2*(1-e^-λ )

Esercizio IV

Qui mi sa che ho toppato qualcosa di grave, perche' mi sembra strano un esercizio per fare semplicemente due sostituzioni. Discorsi a parte comunque, mi son limitato a fare

1)

E(sommatoria Yi)= n*E(Yi) = n*(λ1*e^-λ + λ2*(1-e^-λ ) )

2)

E(sommatoria Xi + sommatoria Yi) = E(sommatoria xi) + E(sommatoria Yi) = n*E(Xi) + n*E(yi)= n*λ + n*(λ1*e^-λ + λ2*(1-e^-λ ) )

Esercizio V

Ho fatto solo i primi 3 punti, qualcuno ha fatto gli ultimi 2? Cmq:

1) 498/500
2) ho lasciato indicato 1/500*(sommatorai da 1 a 500 di Xi)
3) Ho scritto che sappiamo dall'esercizio II che Tn e' uno stimatore non distorto di λ e quindi anche T500.

ho fatto tutto come te a parte ke nn ho fatto il quarto e quindi di conseguenza nn ho fatto i punti 4 e 5 dell'esercizio 5 ke in cui erano da usare le formule trovate nel 4
io ho dei dubbi sul 3.4 e 3.5 E(Y) ed E(X+Y) io li ho lasciati come definizioni nn sono andata avanti nei calcoli.. bah..
speriamo bene

quello che hai scritto è abbastanza giusto (ho guardato velocemente solo i risultati).

Gli ultimi due punti erano semplici sostituzioni, mi vengono 375 e 873 (il che ha senso, se guardi il tipo di esperimento)


edit: riguardando meglio mi sa che non è giusto il III.2, guarda pagina 73 del Mood

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Computer Science: solving today's problems tomorrow.

Originally posted by hannibal
quello che hai scritto è abbastanza giusto (ho guardato velocemente solo i risultati).

Gli ultimi due punti erano semplici sostituzioni, mi vengono 375 e 873 (il che ha senso, se guardi il tipo di esperimento)

Sostituzioni in cosa? Spiegati meglio per favore

edit: riguardando meglio mi sa che non è giusto il III.2, guarda pagina 73 del Mood

Originally posted by Simeon
Sostituzioni in cosa? Spiegati meglio per favore



Azz, potresti avere ragione. Io ho usato le proprieta' di pagina 70 ma si riferiscono ad una funzione di densita' DISCRETA...

"funzione massa di probabilità" = "funzione di densita' di probabilita"?


EDIT: saresti in grado di spiegarmi anche perche'
E(Y)=E(Y|X=0)*P(X=0) + E(Y|X>0)*P(X>0)?

Ho paura che me lo chiedano all'orale e onestamente non lo so.

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ma il testo dove è???

Originally posted by hannibal
Per quanto riguarda le sostituzioni: nell'esercizio V.4 ti prendi il risultato del IV.1 e ci sbatti i valori di lambda1, lambda2, lambda (che conosci). Poi fai lo stesso per l'esercizio 5 con il risultato dell'esercizio IV.2.
Il senso del modello è: tu hai dei batteri H che generano in media poco meno di un figlio al secondo. Se ci piazzi vicini dei batteri K questi generano in media 2.05 figli al secondo, il problema è che lo fanno solo se anche il batterio H vicino a loro ha generato un figlio. Quindi tu hai una variabile casuale Y (batteri generati dai K) condizionata rispetto alla X (batteri generati dagli H)... è praticamente quello di cui si parla fin dall'inizio del compito.

Per capire il valore atteso E(Y), prova a guardare la f_Y(y): applicando le proprietà del valore atteso dovresti riuscire a tirar fuori le costanti (e^-lambda, ad esempio) e vederlo come la somma di due poissoniane di parametro l_1 e l_2 (quelle all'inizio dell'es III)
So che la spiegazione fa schifo ma sono di corsa, stasera se non hai capito scrivo meglio [/B]

Allora, riassumo che avevo scritto un post chilometrico.

"E(Y)=E(Y|X=0)*P(X=0) + E(Y|X>0)*P(X>0)"

Sta roba, come ho gia detto, dovrebbe saltare dalla 4.26 di pagina 167. Ma da un vecchio testo d'esame ho capito che invece si dovrebbe ricavare dal TEOREMA DELLE PROBABILITA' TOTALI.

Qualcuno saprebbe spiegare il perche'?

In un vecchio thread ho trovato la seguente spiegazione:

"E(M) = E(E(M|N)) = Sum[E(M|N) * P(N=n)]
Questo deriva dalla definizione di valore atteso: E(g(X)) = Sum[g(X) * P(X=x)], dove g(X) è ovviamente una funzione qualunque di X. Ora, E(M|N) è una funzione di N, che possiamo chiamare g(N). Sostituiamo g(N) e P(N=n) nella definizione di valore atteso e vediamo che l'uguaglianza torna."

Ma a parte che non tira in ballo il teorema delle probabilita' totali, mi sapreste spiegare perche' E(M|N) e' una funzione di N?

Il punto I.3 come lo hai svolto mi è chiaro, ma volevo capire una cosa... Può essere calcolato anche come
Sommatoria(i=1 a inf.) lambda^i*[(e^(-lambda))/i!] ?
Cioè facendo la sommatoria delle probabilità nei singoli punti i?

Ma a parte che non tira in ballo il teorema delle probabilita' totali, mi sapreste spiegare perche' E(M|N) e' una funzione di N?

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---Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic.---

Per favore non mandatemi allegati in Word o PowerPoint.
Si veda http://www.fsf.org/philosophy/no-word-attachments.html

Originally posted by Simeon
Allora, riassumo che avevo scritto un post chilometrico.

"E(Y)=E(Y|X=0)*P(X=0) + E(Y|X>0)*P(X>0)"

Sta roba, come ho gia detto, dovrebbe saltare dalla 4.26 di pagina 167. Ma da un vecchio testo d'esame ho capito che invece si dovrebbe ricavare dal TEOREMA DELLE PROBABILITA' TOTALI.

Qualcuno saprebbe spiegare il perche'?

In un vecchio thread ho trovato la seguente spiegazione:

"E(M) = E(E(M|N)) = Sum[E(M|N) * P(N=n)]
Questo deriva dalla definizione di valore atteso: E(g(X)) = Sum[g(X) * P(X=x)], dove g(X) è ovviamente una funzione qualunque di X. Ora, E(M|N) è una funzione di N, che possiamo chiamare g(N). Sostituiamo g(N) e P(N=n) nella definizione di valore atteso e vediamo che l'uguaglianza torna."

Ma a parte che non tira in ballo il teorema delle probabilita' totali, mi sapreste spiegare perche' E(M|N) e' una funzione di N?

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Si ragazzi ma il punto e' che non capisco la differenza.

Se prendete

1)E(E(M|N)), in questa maniera, lo sviluppate "facendo variare n", ovvero diventa sum ( E(M|N=n)*P(N=n) )

2)Ma se prendete tipo E(M|N=0) stavolta "facciamo variare m" e quindi diventa E(M|N=0) = sum(m*P(m|N=0)).

E' vero che per definizione sul libro c'e' scritto che E(Y|x) e' una funzione di x, ma poi sviluppando E(Y|x) viene fatto come ho scritto nel punto 2).

Sia 1) che 2) sono funzioni di N? E allora perche' si sviluppano cosi' diversamente?

Originally posted by M3lkor
Il punto I.3 come lo hai svolto mi è chiaro, ma volevo capire una cosa... Può essere calcolato anche come
Sommatoria(i=1 a inf.) lambda^i*[(e^(-lambda))/i!] ?
Cioè facendo la sommatoria delle probabilità nei singoli punti i?

Originally posted by Simeon
Si ragazzi ma il punto e' che non capisco la differenza.

Se prendete

1)E(E(M|N)), in questa maniera, lo sviluppate "facendo variare n", ovvero diventa sum ( E(M|N=n)*P(N=n) )

2)Ma se prendete tipo E(M|N=0) stavolta "facciamo variare m" e quindi diventa E(M|N=0) = sum(m*P(m|N=0)).

E' vero che per definizione sul libro c'e' scritto che E(Y|x) e' una funzione di x, ma poi sviluppando E(Y|x) viene fatto come ho scritto nel punto 2).

Sia 1) che 2) sono funzioni di N? E allora perche' si sviluppano cosi' diversamente?



Credo proprio di si, ma non vorrei dire una cazzata.

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Originally posted by hannibal
Pensale come funzioni "innestate". Prima fai "variare n" e ottieni una sommatoria. Poi, per ogni elemento della sommatoria, fai "variare m" (ricordati che ormai n è fissato). E' quello che fai nei calcoli se ci pensi.

E(Y) = E(Y|X=0)*P(X=0) + E(Y|X>0)*P(X>0) così hai considerato tutte le X.
Ora, fissato il valore di X (ad esempio per il primo termine X=0), guardi il valore condizionato di Y.